Fiche de révision : Équation d’onde de d’Alembert

📋 Plan du Cours

1. Modèle discret de la chaîne
2. Équation et dispersion du réseau
3. Approximation du milieu continu
4. Onde transversale sur une corde

📖 1. Modèle discret de la chaîne

🔑 Notions clés & Définitions

• Chaîne de masses : Modèle d’un solide constitué de masses identiques m placées aux points A_n et reliées par des ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide l.

📝 Points essentiels

• À l’équilibre, les atomes de la chaîne sont séparés d’une distance a et une perturbation leur fait subir un déplacement u_n par rapport à leur position d’équilibre.

💡 Astuce mémo

Une chaîne d’atomes modélisée par des masses reliées par des ressorts

📖 2. Équation et dispersion du réseau

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation discrète du mouvement de la masse n est $\frac{d^2u_n}{dt^2}=\omega_0^2\left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\right)$, avec $\omega_0^2=\frac{k}{m}$.

📐 Formule — La relation de dispersion de la chaîne est $\omega^2=4\omega_0^2\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)$, soit $\omega=2\omega_0\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|$.

• Pour rechercher les modes propres de la chaîne, on utilise une solution harmonique de la forme $u_n(t)=U_0e^{j(\omega t-kna)}$, puis on la reporte dans l’équation discrète.

💡 Astuce mémo

Ressorts voisins → accélération des masses → relation de dispersion

📖 3. Approximation du milieu continu

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation du milieu continu : Remplacement des déplacements discrets u_n par un champ continu u(x,t) vérifiant $u(na,t)=u_n$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation de d’Alembert unidimensionnelle est $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$, avec $c=a\sqrt{\frac{k}{m}}=a\omega_0$.

Compléments

• Dans l’approximation du milieu continu, les déplacements aux points voisins sont développés au second ordre autour de x, puis leur combinaison donne $u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\simeq a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$.

💡 Astuce mémo

Réseau discret par points, milieu continu par le champ u(x,t)

📖 4. Onde transversale sur une corde

🔑 Notions clés & Définitions

• Corde vibrante : Corde homogène de longueur L, de masse linéique μ_L et soumise au repos à une tension uniforme T_0.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation d’une onde transversale sur une corde est $\mu_L\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=T_0\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$, ou $\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$, avec $c=\sqrt{\frac{T_0}{\mu_L}}$.

• L’application de la deuxième loi de Newton à un élément de corde conduit à une tension de norme constante, puis à l’équation du mouvement transverse.

Compléments

📌 Pour les faibles perturbations transversales, on néglige les termes du second ordre en pente et l’on assimile la longueur élémentaire de corde à $dl\simeq dx$.

💡 Astuce mémo

Tension de la corde → accélération transverse → propagation à la vitesse c

📊 Tableaux de synthèse

Vitesse de propagation selon le modèle