Fiche de révision : Équations différentielles linéaires d’ordre 1

📋 Plan du Cours

1. Modélisation exponentielle des bactéries
2. Définitions des équations différentielles
3. Méthode générale et condition initiale
4. Résolution de l’équation homogène
5. Recherche d’une solution particulière
6. Variation de la constante
7. Solution complète et condition initiale

📖 1. Modélisation exponentielle des bactéries

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle exponentiel : Dans le modèle exponentiel ou malthusien, la population bactérienne est représentée par une fonction P définie sur [0;+∞[, donnant le nombre de bactéries en millions à l’instant t exprimé en heures.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans le modèle malthusien, la vitesse d’accroissement de la population est proportionnelle à celle-ci selon $P'(t)=aP(t)$, avec un réel a strictement positif dépendant des conditions expérimentales.

💡 Astuce mémo

Croissance proportionnelle à la population → évolution exponentielle

📖 2. Définitions des équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Relation entre une fonction inconnue, sa dérivée et la variable, généralement notée x ou t lorsqu’il s’agit du temps.
• Équation différentielle linéaire d’ordre 1 : Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 s’écrit $a(x)y'(x)+b(x)y(x)=c(x)$, où a, b et c sont continues sur un intervalle I et y est la fonction inconnue.
• Équation homogène associée : L’équation homogène associée à $a(x)y'(x)+b(x)y(x)=c(x)$ s’obtient en remplaçant le second membre c(x) par 0.

📝 Points essentiels

• Dans l’étude des équations différentielles, la fonction inconnue est traditionnellement notée y, soit y(x) ou y(t), plutôt que f.

• La variable d’une équation différentielle peut être omise de l’écriture, mais elle reste alors sous-entendue.

📌 Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 ne fait intervenir que la première dérivée y', tandis qu’une équation d’ordre 2 fait aussi intervenir la dérivée seconde y''.

• Une équation différentielle linéaire est à coefficients constants lorsque ses fonctions a et b sont constantes.

📖 3. Méthode générale et condition initiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Condition initiale : Une condition initiale est une valeur imposée à la fonction en un point, de la forme $y(x_0)=y_0$, qui permet de déterminer la constante arbitraire C dans la solution générale.

📝 Points essentiels

• 🔄 La résolution suit trois étapes :
  1. Trouver la solution générale de l’équation homogène associée.
  2. Déterminer une solution particulière de l’équation complète.
  3. Écrire la solution générale comme la somme de la solution homogène et de la solution particulière.

💡 Astuce mémo

Homogène → particulière → somme

📖 4. Résolution de l’équation homogène

★ À maîtriser

📐 Formule - La solution générale de $y'(x)+\alpha(x)y(x)=0$ est $y_h(x)=Ce^{\int -\alpha(x)\,dx}$, où C est réel et l’intégrale représente une primitive quelconque de $-\alpha$.

Compléments

• Pour résoudre l’équation homogène, on la normalise en divisant par a(x), à condition que a(x) ne s’annule pas sur l’intervalle considéré.

📐 Formule - Après normalisation, l’équation homogène s’écrit $y'(x)+\alpha(x)y(x)=0$, avec $\alpha(x)=\frac{b(x)}{a(x)}$.

• Pour appliquer la formule de la solution homogène, il suffit de choisir une primitive de $-\alpha$, sans ajouter de constante d’intégration, car la constante C figure déjà dans la solution générale.

• Pour l’équation homogène $y'(x)+y(x)=0$, la solution générale est $y_h(x)=Ce^{-x}$.

📖 5. Recherche d’une solution particulière

★ À maîtriser

• Pour chercher une solution particulière, on peut essayer une fonction de même forme que le second membre, puis imposer qu’elle vérifie l’équation afin de déterminer ses coefficients.

Compléments

• Pour l’équation $y'(x)-xy(x)=x^2-1$, l’essai $y_p(x)=ux^2+vx+w$ et l’identification des coefficients donnent $u=0$, $v=-1$ et $w=0$, donc $y_p(x)=-x$.

📌 Si le second membre est une constante $A$ et que le coefficient de $y$ est une constante non nulle $a$ dans l’équation $y'+ay=A$, une solution particulière constante est $y_p=A/a$.

💡 Astuce mémo

La forme du second membre guide l’essai pour yₚ.

📖 6. Variation de la constante

★ À maîtriser

• La variation de la constante consiste à remplacer la constante de la solution homogène $y_h$ par une fonction $C(x)$, puis à imposer que $y_p(x)=C(x)y_h(x)$ vérifie l’équation complète pour déterminer une solution particulière.

Compléments

• Pour $y'+y=e^{2x}$, la solution homogène $y_h=Ce^{-x}$ conduit, par variation de la constante, à $C'=e^{3x}$ et au choix $C(x)=\frac{1}{3}e^{3x}$, donc $y_p(x)=\frac{1}{3}e^{2x}$.

📌 La variation de la constante est une méthode générale, mais elle est plus lourde et s’emploie lorsque l’essai d’une solution particulière de même forme que le second membre n’a pas abouti.

📖 7. Solution complète et condition initiale

★ À maîtriser

📌 La solution générale de l’équation linéaire complète est la somme d’une solution générale $y_h$ de l’équation homogène associée et d’une solution particulière $y_p$ de l’équation complète.

• Pour résoudre un problème avec condition initiale, on détermine d’abord $y_h$, puis une solution particulière $y_p$, on forme $y=y_h+y_p$ et on utilise la condition initiale pour déterminer la constante.

Compléments

• Pour $y'-y=x^2+x+1$, une solution particulière est $y_p=-x^2-3x-4$ et la solution générale est $y=Ce^x-x^2-3x-4$.

• La condition initiale $y(0)=1$ appliquée à $y=Ce^x-x^2-3x-4$ donne $C=5$ et la solution unique $y(x)=5e^x-x^2-3x-4$.