QCM : Équations différentielles linéaires d’ordre 1 (11 questions)

Question 1

1. Dans une culture bactérienne, on suppose que la vitesse d’accroissement est proportionnelle à la population et que le coefficient de proportionnalité est positif. Quelle équation traduit ce modèle ?

P'(t)=-aP(t)

avec

a>0

P'(t)=aP(t)

avec

a>0

P(t)=aP'(t)

avec

a>0

P'(t)=aP(t)+b

avec

a>0

Explication

La vitesse d’accroissement est proportionnelle à la population, d’où $P'(t)=aP(t)$ , avec un coefficient positif. Écrire la relation inversée confond les grandeurs, choisir un signe négatif contredit la positivité de $a$ , et ajouter $b$ introduit un terme absent du modèle.

Answer

$$P'(t)=aP(t)$$ avec $$a>0$$

Question 2

2. Dans le modèle exponentiel des bactéries, que représente $P(t)$ lorsque $t$ est exprimé en heures ?

Le nombre de bactéries, en millions, à l’instant

t

Le temps écoulé, en heures, pour une population donnée

La vitesse d’accroissement, en millions par heure, à l’instant

t

Le nombre de bactéries, en unités, à l’instant

t

Explication

La fonction $P$ associe à chaque instant $t$ le nombre de bactéries exprimé en millions. La vitesse correspond à $P'(t)$ , tandis que le modèle ne mesure pas l’effectif en unités ni le temps en fonction de la population.

Answer

Le nombre de bactéries, en millions, à l’instant $$t$$

Question 3

3. Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre, on donne $a(x)=x$ , $b(x)=2$ et $c(x)=5$ , fonctions continues sur un intervalle. Quelle forme correspond à cette classe d’équations ?

xy'(x)+5y(x)=2

5y'(x)+2y(x)=x

2y'(x)+xy(x)=5

xy'(x)+2y(x)=5

Explication

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s’écrit $a(x)y'(x)+b(x)y(x)=c(x)$ : les fonctions données conduisent donc à $xy'(x)+2y(x)=5$ . Les autres formes permutent les rôles de $a$ , $b$ et $c$ .

Answer

$$xy'(x)+2y(x)=5$$

Question 4

4. On associe une équation homogène à $3y'(x)+2y(x)=7$ . Quelle équation obtient-on ?

3y'(x)+2y(x)=2

2y(x)=0

3y'(x)+2y(x)=7

3y'(x)+2y(x)=0

Explication

L’équation homogène associée s’obtient en remplaçant le second membre par zéro, sans modifier les termes contenant la fonction et sa dérivée. Garder 7 conserve l’équation complète, supprimer le terme dérivé change l’équation, et utiliser 2 comme second membre ne suit pas la règle.

Answer

$$3y'(x)+2y(x)=0$$

Question 5

5. Que désigne une condition initiale dans la résolution d’une équation différentielle ?

Une valeur imposée à la dérivée en tout point, permettant de trouver une solution particulière.

Une valeur imposée à la fonction en un point donné, permettant de déterminer la constante arbitraire.

Une relation entre la fonction et sa dérivée qui définit l’équation homogène associée.

Une fonction particulière choisie pour former la solution générale de l’équation complète.

Explication

Une condition initiale fixe la valeur de la fonction en un point, sous la forme $y(x_0)=y_0$ , et sert à déterminer la constante arbitraire. Une valeur imposée à la dérivée décrit une autre contrainte, et non la définition donnée ici.

Answer

Une valeur imposée à la fonction en un point donné, permettant de déterminer la constante arbitraire.

Question 6

6. Pour résoudre l’équation homogène $y'(x)+y(x)=0$ , quelle solution générale obtient-on ?

y_h(x)=Ce^{-x}

y_h(x)=C-x

y_h(x)=Ce^x

y_h(x)=C e^{-x^2}

Explication

Le coefficient de $y$ vaut ici $1$ , donc une primitive de son opposé est $-x$ et la solution générale est de la forme $Ce^{-x}$ . La fonction $Ce^x$ correspondrait au signe opposé devant le terme $y(x)$ .

Answer

$$y_h(x)=Ce^{-x}$$

Question 7

7. Lorsqu’on recherche une solution particulière, quel rôle joue la forme du second membre dans le choix de la fonction à essayer ?

Elle sert à choisir la condition initiale qui fixe la valeur de la solution particulière.

Elle guide le choix d’une fonction candidate dont on ajuste les coefficients pour vérifier l’équation.

Elle indique quelle primitive ajouter à la solution générale de l’équation homogène.

Elle permet de déterminer directement la constante de la solution homogène sans substitution.

Explication

La forme du second membre suggère une forme d’essai pour la solution particulière, dont les coefficients sont ensuite déterminés en imposant l’équation. La constante de la solution homogène se détermine à partir d’une condition initiale, et non à partir de cet essai.

Answer

Elle guide le choix d’une fonction candidate dont on ajuste les coefficients pour vérifier l’équation.

Question 8

8. Quelle différence distingue la variation de la constante de l’essai d’une solution particulière guidé par le second membre ?

Elle remplace la constante de la solution homogène par une fonction, puis impose que le produit obtenu vérifie l’équation complète.

Elle reprend la forme du second membre comme solution, puis détermine ses coefficients par identification.

Elle ajoute une constante d’intégration à une primitive, puis l’utilise comme solution particulière.

Elle remplace le second membre par zéro, puis résout l’équation homogène associée.

Explication

La variation de la constante fait dépendre de la variable la constante de la solution homogène et impose ensuite l’équation complète au produit obtenu. L’essai guidé par le second membre, lui, choisit une forme de fonction à partir de ce second membre et ajuste ses coefficients.

Answer

Elle remplace la constante de la solution homogène par une fonction, puis impose que le produit obtenu vérifie l’équation complète.

Question 9

9. Pour résoudre une équation différentielle avec une condition initiale, quelle conséquence découle de l’évaluation de la solution complète au point imposé ?

Elle permet de supprimer le terme correspondant au second membre.

Elle permet de déterminer la constante arbitraire et d’obtenir une solution unique.

Elle permet de choisir l’intervalle sur lequel les coefficients sont continus.

Elle permet de remplacer la solution particulière par une solution homogène.

Explication

En substituant la valeur initiale dans la somme de la solution homogène et de la solution particulière, on obtient une équation qui fixe la constante arbitraire. La condition initiale ne remplace pas la solution particulière par une solution homogène, car les deux composantes restent nécessaires à la solution complète.

Answer

Elle permet de déterminer la constante arbitraire et d’obtenir une solution unique.

Question 10

10. Dans un modèle malthusien, la population initiale d’une culture est multipliée par deux tandis que les conditions expérimentales restent inchangées. Comment évolue alors la vitesse instantanée d’accroissement de la population ?

Elle reste inchangée, car le coefficient de croissance ne varie pas.

Elle devient nulle, car la population initiale a changé.

Elle est multipliée par deux, car elle est proportionnelle à la population.

Elle est divisée par deux, car la population augmente plus rapidement.

Explication

Le modèle donne $P'(t)=aP(t)$ , donc, à coefficient $a$ inchangé, doubler $P(t)$ double aussi la vitesse d’accroissement. La constance du coefficient de croissance ne signifie pas que la vitesse reste constante : celle-ci dépend de la population.

Answer

Elle est multipliée par deux, car elle est proportionnelle à la population.

Question 11

11. Quelles caractéristiques définissent une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

Elle relie la fonction inconnue, ses dérivées première et seconde et la variable, avec des coefficients continus sur un intervalle.

Elle relie la fonction inconnue, sa dérivée première et la variable, avec des coefficients continus sur un intervalle.

Elle relie la fonction inconnue et sa dérivée première à une variable, sans condition sur la continuité des coefficients.

Elle relie la fonction inconnue à sa dérivée première, avec des coefficients nécessairement constants sur l’intervalle.

Explication

Une équation différentielle linéaire du premier ordre comporte la fonction inconnue et sa dérivée première, et ses coefficients sont continus sur l’intervalle considéré. La présence de la dérivée seconde caractérise plutôt une équation d’ordre 2.

Answer

Elle relie la fonction inconnue, sa dérivée première et la variable, avec des coefficients continus sur un intervalle.

QCM : Équations différentielles linéaires d’ordre 1 (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une culture bactérienne, on suppose que la vitesse d’accroissement est proportionnelle à la population et que le coefficient de proportionnalité est positif. Quelle équation traduit ce modèle ?

2. Dans le modèle exponentiel des bactéries, que représente $P(t)$ lorsque $t$ est exprimé en heures ?

3. Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre, on donne $a(x)=x$ , $b(x)=2$ et $c(x)=5$ , fonctions continues sur un intervalle. Quelle forme correspond à cette classe d’équations ?

4. On associe une équation homogène à $3y'(x)+2y(x)=7$ . Quelle équation obtient-on ?

5. Que désigne une condition initiale dans la résolution d’une équation différentielle ?

6. Pour résoudre l’équation homogène $y'(x)+y(x)=0$ , quelle solution générale obtient-on ?

7. Lorsqu’on recherche une solution particulière, quel rôle joue la forme du second membre dans le choix de la fonction à essayer ?

8. Quelle différence distingue la variation de la constante de l’essai d’une solution particulière guidé par le second membre ?

9. Pour résoudre une équation différentielle avec une condition initiale, quelle conséquence découle de l’évaluation de la solution complète au point imposé ?

10. Dans un modèle malthusien, la population initiale d’une culture est multipliée par deux tandis que les conditions expérimentales restent inchangées. Comment évolue alors la vitesse instantanée d’accroissement de la population ?

11. Quelles caractéristiques définissent une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

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Questions et réponses du QCM

1. Dans une culture bactérienne, on suppose que la vitesse d’accroissement est proportionnelle à la population et que le coefficient de proportionnalité est positif. Quelle équation traduit ce modèle ?

2. Dans le modèle exponentiel des bactéries, que représente P(t)P(t)P(t) lorsque ttt est exprimé en heures ?

3. Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre, on donne a(x)=xa(x)=xa(x)=x, b(x)=2b(x)=2b(x)=2 et c(x)=5c(x)=5c(x)=5, fonctions continues sur un intervalle. Quelle forme correspond à cette classe d’équations ?

4. On associe une équation homogène à 3y′(x)+2y(x)=73y'(x)+2y(x)=73y′(x)+2y(x)=7. Quelle équation obtient-on ?

5. Que désigne une condition initiale dans la résolution d’une équation différentielle ?

6. Pour résoudre l’équation homogène y′(x)+y(x)=0y'(x)+y(x)=0y′(x)+y(x)=0, quelle solution générale obtient-on ?

7. Lorsqu’on recherche une solution particulière, quel rôle joue la forme du second membre dans le choix de la fonction à essayer ?

8. Quelle différence distingue la variation de la constante de l’essai d’une solution particulière guidé par le second membre ?

9. Pour résoudre une équation différentielle avec une condition initiale, quelle conséquence découle de l’évaluation de la solution complète au point imposé ?

10. Dans un modèle malthusien, la population initiale d’une culture est multipliée par deux tandis que les conditions expérimentales restent inchangées. Comment évolue alors la vitesse instantanée d’accroissement de la population ?

11. Quelles caractéristiques définissent une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

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2. Dans le modèle exponentiel des bactéries, que représente $P(t)$ lorsque $t$ est exprimé en heures ?

3. Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre, on donne $a(x)=x$ , $b(x)=2$ et $c(x)=5$ , fonctions continues sur un intervalle. Quelle forme correspond à cette classe d’équations ?

4. On associe une équation homogène à $3y'(x)+2y(x)=7$ . Quelle équation obtient-on ?

6. Pour résoudre l’équation homogène $y'(x)+y(x)=0$ , quelle solution générale obtient-on ?