Fiche de révision : Équations différentielles linéaires

📋 Plan du Cours

1. Équations linéaires du premier ordre
2. Résolution générale au premier ordre
3. Solutions homogènes au premier ordre
4. Variation de la constante
5. Problème de Cauchy au premier ordre
6. Équations linéaires du second ordre
7. Équation caractéristique et solutions
8. Conditions initiales et solution particulière

📖 1. Équations linéaires du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire du premier ordre : Une équation différentielle linéaire du premier ordre définie sur I s’écrit $y' + a(x)y = b(x)$, où a et b sont continues sur I et l’inconnue est une fonction à valeurs dans K = R ou C.

📝 Points essentiels

• Une solution de $y' + a(x)y = b(x)$ est une fonction dérivable f sur I telle que $f'(x) + a(x)f(x) = b(x)$ pour tout x de I.

• L’équation $(x^2+1)y'=1-xy$ se ramène à $y'+\frac{x}{1+x^2}y=\frac{1}{1+x^2}$.

• Si a et b sont continues, les solutions de $y'+a(x)y=b(x)$ sont de classe C1 ; si les coefficients sont dérivables, les solutions sont de classe C2.

📖 2. Résolution générale au premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation homogène associée : L’équation homogène associée à $y'+a(x)y=b(x)$ est $y'+a(x)y=0$.

★ À maîtriser

📌 Si f1 est une solution particulière de $y'+a(x)y=b(x)$, toutes ses solutions s’écrivent $f_1+h$, où h parcourt les solutions de l’équation homogène associée.

📌 Si f1 et f2 résolvent respectivement $y'+a(x)y=b_1(x)$ et $y'+a(x)y=b_2(x)$, alors f1+f2 résout $y'+a(x)y=b_1(x)+b_2(x)$.

Compléments

• Pour résoudre une équation linéaire du premier ordre, on résout l’équation homogène associée, on trouve une solution particulière, puis on forme la somme des deux.

💡 Astuce mémo

Homogène, particulière, puis somme des deux.

📖 3. Solutions homogènes au premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A est une primitive de a sur I, les solutions de l’équation homogène $y'+a(x)y=0$ sont $y(x)=\lambda e^{-A(x)}$, avec $\lambda\in K$.

Compléments

📌 La seule solution de $y'+a(x)y=0$ qui s’annule en un point est la fonction nulle.

• L’ensemble des solutions de $y'+a(x)y=0$ est un espace vectoriel de dimension 1, et toutes ses solutions sont proportionnelles.

📐 Formule - Pour une équation à coefficient constant $y'+ay=0$, les solutions sont $y(x)=\lambda e^{-ax}$, avec $\lambda\in K$.

💡 Astuce mémo

La solution homogène suit l’exponentielle négative d’une primitive de a.

📖 4. Variation de la constante

★ À maîtriser

• Pour appliquer la variation de la constante à $y'+a(x)y=b(x)$, on pose $f(x)=\lambda(x)e^{-A(x)}$ avec $A'=a$, puis on détermine une primitive de $b(x)e^{A(x)}$ afin d’obtenir $\lambda$ et une solution particulière.

Compléments

• La variation de la constante n’est pas une méthode garantie, car le calcul des primitives nécessaires peut être impossible ou impraticable.

📌 Le principe de superposition permet de chercher une solution particulière en décomposant le second membre en une somme de fonctions plus simples.

• Pour une équation du premier ordre à coefficients constants $y'+ay=b(x)$, si f1 est une solution particulière, les solutions sont $f_1(x)+\lambda e^{-ax}$ avec $\lambda\in K$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par une constante variable, intégrer, puis vérifier.

📖 5. Problème de Cauchy au premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème de Cauchy : Un problème de Cauchy pour $y'+a(x)y=b(x)$ consiste à trouver une solution vérifiant une condition initiale $f(x_0)=y_0$, avec $(x_0,y_0)\in I\times K$.

★ À maîtriser

📌 Si a et b sont continues sur l’intervalle I et si $x_0\in I$ et $y_0\in K$, le problème de Cauchy $y'+a(x)y=b(x),\ f(x_0)=y_0$ admet une unique solution sur I.

Compléments

• La condition $f(x_0)=y_0$ et l’équation différentielle déterminent également la valeur de $f'(x_0)$.

📌 Pour une équation générale $y'=F(t,y)$, la condition de Lipschitz en la deuxième variable permet d’assurer l’existence et l’unicité d’une solution au problème de Cauchy.

• Le problème $y'=2\sqrt y,\ y(0)=0$ admet une infinité de solutions, notamment la fonction nulle et les fonctions égales à 0 avant C puis à $(t-C)^2$ à partir de C, pour $C\geq 0$.

💡 Astuce mémo

Une condition initiale fixe une solution au premier ordre ; sans les hypothèses, existence ou unicité peuvent échouer.

📖 6. Équations linéaires du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants s’écrit $y''+ay'+by=c(x)$, où a et b appartiennent à K et c est continue sur I.

📝 Points essentiels

• Pour les équations linéaires du second ordre étudiées, les coefficients a et b sont constants, alors que le second membre c peut dépendre de x.

💡 Astuce mémo

Résoudre l’homogène, chercher une particulière, puis les additionner.

📖 7. Équation caractéristique et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation caractéristique : L’équation caractéristique de $y''+ay'+by=0$ est $r^2+ar+b=0$ et son discriminant est $\Delta=a^2-4b$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le cas complexe, si l’équation caractéristique a deux racines distinctes α et β, les solutions homogènes sont $y(x)=\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\beta x}$, avec $\lambda,\mu\in\mathbb C$.

📐 Formule - Dans le cas complexe, si l’équation caractéristique a une racine double α, les solutions homogènes sont $y(x)=(\lambda x+\mu)e^{\alpha x}$, avec $\lambda,\mu\in\mathbb C$.

📐 Formule - Pour des coefficients réels et $\Delta>0$, les solutions homogènes sont $y(x)=\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\beta x}$, où α et β sont les deux racines réelles distinctes de l’équation caractéristique.

📐 Formule - Pour des coefficients réels et $\Delta=0$, les solutions homogènes sont $y(x)=(\lambda x+\mu)e^{\alpha x}$, où α est la racine double de l’équation caractéristique.

📐 Formule - Pour des coefficients réels et $\Delta<0$, les racines sont $\alpha\pm i\omega$ avec $\omega\neq0$, et les solutions homogènes sont $y(x)=(\lambda\cos(\omega x)+\mu\sin(\omega x))e^{\alpha x}$, avec $\lambda,\mu\in\mathbb R$.

Compléments

• L’ensemble des solutions homogènes d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est un espace vectoriel de dimension 2, sur R ou C selon le corps considéré.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif : exponentielles réelles ; négatif : exponentielles modulées par sinus et cosinus.

📖 8. Conditions initiales et solution particulière

★ À maîtriser

📌 Pour une équation linéaire du second ordre à coefficients constants, imposer $y(x_0)=\alpha$ et $y'(x_0)=\beta$ donne un problème de Cauchy qui possède une unique solution.

📌 Pour $y''+ay'+by=Ae^{\alpha x}$, une solution particulière est de la forme $Ce^{\alpha x}$ si α n’est pas racine caractéristique, $Cxe^{\alpha x}$ si α est racine simple, et $Cx^2e^{\alpha x}$ si α est racine double.

Compléments

📌 Une double condition portant uniquement sur des valeurs de y peut ne pas déterminer les deux constantes de la solution générale, notamment lorsque les valeurs imposées sont séparées par une période d’une solution périodique.

• Pour chercher une solution particulière d’une équation du second ordre, on choisit souvent une fonction du même type que le second membre, puis on vérifie sa substitution dans l’équation.