QCM : Équations différentielles linéaires (11 questions)

Question 1

1. Concernant la forme d’une équation différentielle linéaire du premier ordre définie sur un intervalle I :

Elle s’écrit

y' + a(x)y = b(x)

, avec des coefficients continus et une inconnue à valeurs dans

\mathbb{R}

.

Elle s’écrit

y' + a(x)y = b(x)

, avec des coefficients continus et une inconnue à valeurs dans

\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

.

Elle s’écrit

y' + a(x)y = b(x)

, avec des coefficients dérivables et une inconnue à valeurs dans

\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

.

Elle s’écrit

y' + a(x)y = b(x)

, avec des coefficients continus et une inconnue à valeurs dans

\mathbb{C}

.

Elle s’écrit

y' + a(x)y = b(x)

, avec

a

et

b

continues et une inconnue à valeurs dans

\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

.

Explication

La forme générale est $y'+a(x)y=b(x)$ , avec les deux coefficients continus sur $I$ et une fonction inconnue à valeurs réelles ou complexes. La dérivabilité des coefficients n’est pas requise, et l’espace des valeurs ne se limite ni aux réels ni aux complexes seuls.

Answer

Elle s’écrit $$y' + a(x)y = b(x)$$, avec $$a$$ et $$b$$ continues et une inconnue à valeurs dans $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$.

Question 2

2. L’équation $(x^2+1)y'=1-xy$ se ramène à :

Le terme

-xy

passe à gauche et devient

+xy

avant division.

Le second membre dans la forme normalisée est

\frac{1}{1+x^2}

.

y'+\frac{x}{1+x^2}y=\frac{1}{1+x^2}

, en divisant par

x^2+1

.

La forme obtenue est linéaire, avec un coefficient variable devant

y

.

Le coefficient de

y

dans la forme normalisée est

\frac{x}{1+x^2}

.

Explication

En réécrivant l’équation, on obtient $(x^2+1)y'+xy=1$ , puis la division par $x^2+1$ donne la forme normalisée indiquée. Le coefficient de $y$ et le second membre sont donc ceux énoncés, et le terme en $y$ change bien de signe lorsqu’il passe à gauche.

Answer

Le terme $$-xy$$ passe à gauche et devient $$+xy$$ avant division. · Le second membre dans la forme normalisée est $$\frac{1}{1+x^2}$$. · $$y'+\frac{x}{1+x^2}y=\frac{1}{1+x^2}$$, en divisant par $$x^2+1$$. · La forme obtenue est linéaire, avec un coefficient variable devant $$y$$. · Le coefficient de $$y$$ dans la forme normalisée est $$\frac{x}{1+x^2}$$.

Question 3

3. Quelle équation est l’équation homogène associée à $y'+a(x)y=b(x)$ ?

Son second membre est

a(x)

, à la place de celui de l’équation initiale.

Son second membre est

-b(x)

, obtenu par changement de signe.

Son second membre est nul, même lorsque celui de l’équation initiale ne l’est pas.

L’équation homogène associée est

y'+a(x)y=0

.

L’équation homogène associée est

y'+a(x)y=b(x)

.

Explication

L’équation homogène associée conserve le membre de gauche et remplace le second membre par zéro. Elle ne conserve donc pas $b(x)$ et son second membre n’est ni $a(x)$ ni $-b(x)$ .

Answer

Son second membre est nul, même lorsque celui de l’équation initiale ne l’est pas. · L’équation homogène associée est $$y'+a(x)y=0$$.

Question 4

4. Si $f_1$ est une solution particulière de $y'+a(x)y=b(x)$ , la solution générale s’écrit :

La somme d’une solution particulière et d’une solution homogène.

h-f_1

, où

h

parcourt les solutions de l’équation homogène associée.

f_1

seule, puisque toute solution particulière est déjà générale.

f_1+h

, où

h

parcourt les solutions de l’équation homogène associée.

f_1+h

, où

h

parcourt les solutions de l’équation initiale.

Explication

Toutes les solutions s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière une solution de l’équation homogène associée. Une solution particulière seule ne donne pas la solution générale, et la somme doit utiliser une solution homogène, non une solution quelconque de l’équation initiale.

Answer

La somme d’une solution particulière et d’une solution homogène. · $$f_1+h$$, où $$h$$ parcourt les solutions de l’équation homogène associée.

Question 5

5. Que représente une primitive de $a$ dans la formule des solutions de l’équation homogène $y'+a(x)y=0$ ?

Une fonction

A

telle que

A(x)=a(x)

, utilisée comme coefficient de la solution

Une fonction

A

telle que

A'(x)=a(x)

, utilisée dans l’exponentielle

e^{-A(x)}

Une fonction

A

telle que

A'(x)=-a(x)

, utilisée dans l’exponentielle

e^{A(x)}

Une fonction

A

telle que

A(x)=a'(x)

, utilisée comme facteur de

y

Explication

Une primitive $A$ de $a$ vérifie $A'=a$ , et les solutions homogènes s’écrivent $y(x)=\lambda e^{-A(x)}$ . La condition $A'=-a$ correspondrait à une primitive de l’opposé de $a$ , et non à celle requise.

Answer

Une fonction $$A$$ telle que $$A'(x)=a(x)$$, utilisée dans l’exponentielle $$e^{-A(x)}$$

Question 6

6. Dans la méthode de variation de la constante appliquée à $y'+a(x)y=b(x)$ , quelle fonction faut-il déterminer par intégration pour obtenir $\lambda(x)$ ?

Une primitive de

b(x)e^{A(x)}

, où

A'=a

Une primitive de

a(x)b(x)e^{A(x)}

, où

A'=a

Une primitive de

a(x)e^{B(x)}

, où

B'=b

Une primitive de

b(x)e^{-A(x)}

, où

A'=a

Explication

En posant $f(x)=\lambda(x)e^{-A(x)}$ avec $A'=a$ , on détermine $\lambda$ à partir d’une primitive de $b(x)e^{A(x)}$ . L’expression avec $e^{-A(x)}$ est une confusion avec le facteur qui apparaît dans la forme posée pour $f$ .

Answer

Une primitive de $$b(x)e^{A(x)}$$, où $$A'=a$$

Question 7

7. Dans un problème de Cauchy pour une équation linéaire du premier ordre, quel rôle joue la condition initiale $f(x_0)=y_0$ lorsque les coefficients sont continus sur $I$ ?

Elle garantit que le second membre est nul au point

x_0

.

Elle remplace l’équation différentielle par une valeur imposée de la dérivée.

Elle détermine la continuité des coefficients sur l’intervalle

I

.

Elle sélectionne l’unique solution sur

I

parmi les solutions de l’équation différentielle.

Explication

La condition initiale fixe la valeur de la solution en $x_0$ et, avec l’équation différentielle, détermine une unique solution sur $I$ . Elle n’impose pas que le second membre s’annule en $x_0$ , car cette valeur dépend des coefficients et de la donnée initiale.

Answer

Elle sélectionne l’unique solution sur $$I$$ parmi les solutions de l’équation différentielle.

Question 8

8. Quelle différence distingue les coefficients et le second membre dans une équation linéaire du second ordre à coefficients constants ?

Le coefficient de la dérivée première peut varier, tandis que celui de la dérivée seconde reste constant.

Les deux coefficients et le second membre doivent être constants sur l’intervalle.

Les coefficients des dérivées sont constants, tandis que le second membre peut dépendre de la variable.

Le coefficient de la dérivée seconde peut varier, tandis que le second membre doit être constant.

Explication

Dans cette forme d’équation, les coefficients de $y'$ et de $y$ sont constants, mais $c(x)$ peut varier avec $x$ . L’idée que le second membre doit être constant confond la constance des coefficients avec celle de la fonction qui figure à droite.

Answer

Les coefficients des dérivées sont constants, tandis que le second membre peut dépendre de la variable.

Question 9

9. Pour $y''+ay'+by=0$ , quel effet le signe du discriminant $\Delta=a^2-4b$ a-t-il sur la forme des solutions homogènes lorsque $a,b\in\mathbb R$ ?

Si

\Delta=0

, les solutions combinent sinus et cosinus avec une exponentielle réelle.

Si

\Delta<0

, les solutions sont des combinaisons de deux exponentielles réelles distinctes.

Si

\Delta>0

, les solutions prennent la forme d’une exponentielle multipliée par un polynôme de degré un.

Si

\Delta<0

, les solutions combinent sinus et cosinus avec une exponentielle réelle.

Explication

Un discriminant négatif donne des racines complexes conjuguées, ce qui produit des termes en sinus et cosinus modulés par une exponentielle réelle. Deux exponentielles réelles distinctes correspondent plutôt à un discriminant positif.

Answer

Si $$\Delta<0$$, les solutions combinent sinus et cosinus avec une exponentielle réelle.

Question 10

10. Pour déterminer une solution particulière de $y''+ay'+by=Ae^{\alpha x}$ , quelle forme d’essai faut-il utiliser lorsque $\alpha$ est une racine simple de l’équation caractéristique ?

Cxe^{\alpha x}

Ce^{\alpha x}

Cxe^{-\alpha x}

Cx^2e^{\alpha x}

Explication

Lorsque $\alpha$ est une racine simple, l’essai de solution particulière doit être multiplié par $x$ , d’où la forme $Cxe^{\alpha x}$ . La forme $Ce^{\alpha x}$ convient lorsque $\alpha$ n’est pas une racine caractéristique.

Answer

$$Cxe^{\alpha x}$$

Question 11

11. Quelles hypothèses sur les fonctions et quelle forme caractérisent une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle $I$ ?

Elle s’écrit

y' + a(x)y = b(x)

, avec

a

et

b

dérivables sur

I

.

Elle s’écrit

y'' + a(x)y = b(x)

, avec

a

et

b

continues sur

I

.

Elle s’écrit

y' + a(x)y = b(x)

, avec

a

et

b

continues sur

I

.

Elle s’écrit

y' + a(x)y^2 = b(x)

, avec

a

et

b

continues sur

I

.

Explication

Une équation linéaire du premier ordre prend la forme $y' + a(x)y = b(x)$ , où les deux fonctions coefficients sont continues sur $I$ . La forme avec $y''$ correspond à une équation du second ordre, tandis que la continuité n’exige pas que les coefficients soient dérivables.

Answer

Elle s’écrit $$y' + a(x)y = b(x)$$, avec $$a$$ et $$b$$ continues sur $$I$$.

QCM : Équations différentielles linéaires (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la forme d’une équation différentielle linéaire du premier ordre définie sur un intervalle I :

2. L’équation $(x^2+1)y'=1-xy$ se ramène à :

3. Quelle équation est l’équation homogène associée à $y'+a(x)y=b(x)$ ?

4. Si $f_1$ est une solution particulière de $y'+a(x)y=b(x)$ , la solution générale s’écrit :

5. Que représente une primitive de $a$ dans la formule des solutions de l’équation homogène $y'+a(x)y=0$ ?

6. Dans la méthode de variation de la constante appliquée à $y'+a(x)y=b(x)$ , quelle fonction faut-il déterminer par intégration pour obtenir $\lambda(x)$ ?

7. Dans un problème de Cauchy pour une équation linéaire du premier ordre, quel rôle joue la condition initiale $f(x_0)=y_0$ lorsque les coefficients sont continus sur $I$ ?

8. Quelle différence distingue les coefficients et le second membre dans une équation linéaire du second ordre à coefficients constants ?

9. Pour $y''+ay'+by=0$ , quel effet le signe du discriminant $\Delta=a^2-4b$ a-t-il sur la forme des solutions homogènes lorsque $a,b\in\mathbb R$ ?

10. Pour déterminer une solution particulière de $y''+ay'+by=Ae^{\alpha x}$ , quelle forme d’essai faut-il utiliser lorsque $\alpha$ est une racine simple de l’équation caractéristique ?

11. Quelles hypothèses sur les fonctions et quelle forme caractérisent une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle $I$ ?

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QCM : Équations différentielles linéaires (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la forme d’une équation différentielle linéaire du premier ordre définie sur un intervalle I :

2. L’équation (x2+1)y′=1−xy(x^2+1)y'=1-xy(x2+1)y′=1−xy se ramène à :

3. Quelle équation est l’équation homogène associée à y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x)y′+a(x)y=b(x) ?

4. Si f1f_1f1​ est une solution particulière de y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x)y′+a(x)y=b(x), la solution générale s’écrit :

5. Que représente une primitive de aaa dans la formule des solutions de l’équation homogène y′+a(x)y=0y'+a(x)y=0y′+a(x)y=0 ?

6. Dans la méthode de variation de la constante appliquée à y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x)y′+a(x)y=b(x), quelle fonction faut-il déterminer par intégration pour obtenir λ(x)\lambda(x)λ(x) ?

7. Dans un problème de Cauchy pour une équation linéaire du premier ordre, quel rôle joue la condition initiale f(x0)=y0f(x_0)=y_0f(x0​)=y0​ lorsque les coefficients sont continus sur III ?

8. Quelle différence distingue les coefficients et le second membre dans une équation linéaire du second ordre à coefficients constants ?

9. Pour y′′+ay′+by=0y''+ay'+by=0y′′+ay′+by=0, quel effet le signe du discriminant Δ=a2−4b\Delta=a^2-4bΔ=a2−4b a-t-il sur la forme des solutions homogènes lorsque a,b∈Ra,b\in\mathbb Ra,b∈R ?

10. Pour déterminer une solution particulière de y′′+ay′+by=Aeαxy''+ay'+by=Ae^{\alpha x}y′′+ay′+by=Aeαx, quelle forme d’essai faut-il utiliser lorsque α\alphaα est une racine simple de l’équation caractéristique ?

11. Quelles hypothèses sur les fonctions et quelle forme caractérisent une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle III ?

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2. L’équation $(x^2+1)y'=1-xy$ se ramène à :

3. Quelle équation est l’équation homogène associée à $y'+a(x)y=b(x)$ ?

4. Si $f_1$ est une solution particulière de $y'+a(x)y=b(x)$ , la solution générale s’écrit :

5. Que représente une primitive de $a$ dans la formule des solutions de l’équation homogène $y'+a(x)y=0$ ?

6. Dans la méthode de variation de la constante appliquée à $y'+a(x)y=b(x)$ , quelle fonction faut-il déterminer par intégration pour obtenir $\lambda(x)$ ?

7. Dans un problème de Cauchy pour une équation linéaire du premier ordre, quel rôle joue la condition initiale $f(x_0)=y_0$ lorsque les coefficients sont continus sur $I$ ?

9. Pour $y''+ay'+by=0$ , quel effet le signe du discriminant $\Delta=a^2-4b$ a-t-il sur la forme des solutions homogènes lorsque $a,b\in\mathbb R$ ?

10. Pour déterminer une solution particulière de $y''+ay'+by=Ae^{\alpha x}$ , quelle forme d’essai faut-il utiliser lorsque $\alpha$ est une racine simple de l’équation caractéristique ?

11. Quelles hypothèses sur les fonctions et quelle forme caractérisent une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle $I$ ?