Équations différentielles linéaires

Extrait de la fiche de révision

Plan du Cours

  1. Équations linéaires du premier ordre
  2. Résolution générale au premier ordre
  3. Solutions homogènes au premier ordre
  4. Variation de la constante
  5. Problème de Cauchy au premier ordre
  6. Équations linéaires du second ordre
  7. Équation caractéristique et solutions
  8. Conditions initiales et solution particulière

1. Équations linéaires du premier ordre

Notions clés & Définitions

  • Équation différentielle linéaire du premier ordre : Une équation différentielle linéaire du premier ordre définie sur I s’écrit y′+a(x)y=b(x)y' + a(x)y = b(x), où a et b sont continues sur I et l’inconnue est une fonction à valeurs dans K = R ou C.

Points essentiels

  • Une solution de y′+a(x)y=b(x)y' + a(x)y = b(x) est une fonction dérivable f sur I telle que f′(x)+a(x)f(x)=b(x)f'(x) + a(x)f(x) = b(x) pour tout x de I.

  • L’équation (x2+1)y′=1−xy(x^2+1)y'=1-xy se ramène à y′+x1+x2y=11+x2y'+\frac{x}{1+x^2}y=\frac{1}{1+x^2}.

  • Si a et b sont continues, les solutions de y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x) sont de classe C1 ; si les coefficients sont dérivables, les solutions sont de classe C2.

2. Résolution générale au premier ordre

Notions clés & Définitions

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Aperçu du QCM

1. Concernant la forme d’une équation différentielle linéaire du premier ordre définie sur un intervalle I :

2. L’équation (x2+1)y′=1−xy(x^2+1)y'=1-xy se ramène à :

3. Quelle équation est l’équation homogène associée à y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x) ?

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Aperçu des flashcards

Quelle forme définit une équation différentielle linéaire du premier ordre sur II ?

y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x), avec a,ba,b continues sur II et yy à valeurs dans R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}.

Quelle est l’équation homogène associée à y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x) ?

y′+a(x)y=0y'+a(x)y=0

Comment s’écrit toute solution de y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x) à partir d’une solution particulière f1f_1 ?

f1+hf_1+h, où hh est une solution de l’équation homogène associée.

Quelles classes de régularité ont les solutions selon les coefficients de y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x) ?

Elles sont de classe C1C^1 si les coefficients sont continus et de classe C2C^2 s’ils sont dérivables.

Quelle forme générale ont les solutions de y′+a(x)y=0y'+a(x)y=0 si AA est une primitive de aa ?

y(x)=λe−A(x)y(x)=\lambda e^{-A(x)}, avec λ∈K\lambda\in K.

Quelle primitive détermine-t-on pour appliquer la variation de la constante à y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x) ?

Une primitive de b(x)eA(x)b(x)e^{A(x)}, avec A′=aA'=a.

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Questions fréquentes

Que contient la fiche de révision sur Équations différentielles linéaires ?

La fiche de révision couvre les notions essentielles de Équations différentielles linéaires. Elle est structurée par thématiques pour faciliter l'apprentissage et la mémorisation, avec des définitions clés, des explications et des synthèses.

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Combien de questions contient le QCM sur Équations différentielles linéaires ?

Le QCM contient 11 questions à choix multiples avec corrections détaillées et explications pour chaque réponse. Idéal pour tester tes connaissances et identifier tes lacunes.

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Comment réviser Équations différentielles linéaires avec les flashcards ?

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