Flashcards : Équations différentielles linéaires (10 cartes)

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1Question

Quelle forme définit une équation différentielle linéaire du premier ordre sur $I$ ?

Réponse

$y'+a(x)y=b(x)$ , avec $a,b$ continues sur $I$ et $y$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

2Question

Quelle est l’équation homogène associée à $y'+a(x)y=b(x)$ ?

Réponse

$y'+a(x)y=0$

3Question

Comment s’écrit toute solution de $y'+a(x)y=b(x)$ à partir d’une solution particulière $f_1$ ?

Réponse

$f_1+h$ , où $h$ est une solution de l’équation homogène associée.

4Question

Quelles classes de régularité ont les solutions selon les coefficients de $y'+a(x)y=b(x)$ ?

Réponse

Elles sont de classe $C^1$ si les coefficients sont continus et de classe $C^2$ s’ils sont dérivables.

5Question

Quelle forme générale ont les solutions de $y'+a(x)y=0$ si $A$ est une primitive de $a$ ?

Réponse

$y(x)=\lambda e^{-A(x)}$ , avec $\lambda\in K$ .

6Question

Quelle primitive détermine-t-on pour appliquer la variation de la constante à $y'+a(x)y=b(x)$ ?

Réponse

Une primitive de $b(x)e^{A(x)}$ , avec $A'=a$ .

7Question

Que cherche-t-on dans un problème de Cauchy pour $y'+a(x)y=b(x)$ ?

Réponse

Une solution vérifiant $f(x_0)=y_0$ .

8Question

Quelle est la forme des solutions de $y'+ay=0$ à coefficient constant ?

Réponse

$y(x)=\lambda e^{-ax}$ , avec $\lambda\in K$ .

9Question

Pourquoi la variation de la constante n’est-elle pas toujours applicable en pratique ?

Réponse

Les primitives nécessaires peuvent être impossibles ou impraticables à calculer.

10Question

Quelle condition assure l’existence et l’unicité d’une solution pour $y'=F(t,y)$ ?

Réponse

La condition de Lipschitz en la deuxième variable.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 11 questions sur Équations différentielles linéaires.

1. Concernant la forme d’une équation différentielle linéaire du premier ordre définie sur un intervalle I :

2. L’équation $(x^2+1)y'=1-xy$ se ramène à :

Faire le QCM →

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Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Équations différentielles linéaires.

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