Fiche de révision : Équations du premier degré

📋 Plan du Cours

1. Modéliser une situation par équation
2. Résoudre une équation simple
3. Égalité des coûts avec frais fixes
4. Méthode générale de résolution
5. Applications aux fonctions et problèmes

📖 1. Modéliser une situation par équation

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Égalité dans laquelle figure une lettre appelée l’inconnue.

📝 Points essentiels

• Pour modéliser l’achat de 3 produits à x euros chacun avec 5,35 € de frais de port pour un total de 51,10 €, on écrit $3x + 5{,}35 = 51{,}10$.

📐 Formule — La résolution de $3x + 5{,}35 = 51{,}10$ donne $3x = 45{,}75$ puis $x = 15{,}25$, donc un exemplaire coûte 15,25 €.

💡 Astuce mémo

Situation concrète → inconnue → équation

📖 2. Résoudre une équation simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution d’une équation : Valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour résoudre une équation ramenée à $ax=b$, on divise par a et la solution est $x=\frac{b}{a}$.

Compléments

📐 Formule — L’équation $5x-3=2x+6$ se résout par $5x-2x=3+6$, puis $3x=9$ et finalement $x=3$.

💡 Astuce mémo

Isoler, regrouper, diviser

📖 3. Égalité des coûts avec frais fixes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour x cartouches, l’égalité entre la boutique et Internet s’écrit $10{,}45x=9{,}95x+9$.

• La résolution de $10{,}45x=9{,}95x+9$ donne $0{,}50x=9$ puis $x=18$; les deux prix sont donc identiques pour 18 cartouches.

Compléments

📌 La boutique facture 10,45 € TTC par cartouche, tandis qu’Internet facture 9,95 € TTC par cartouche auxquels s’ajoutent 9 € de frais de port.

💡 Astuce mémo

Boutique : prix unitaire élevé ; Internet : prix unitaire plus frais fixes

📖 4. Méthode générale de résolution

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation, on regroupe d’un côté les termes contenant l’inconnue et de l’autre les termes connus, en changeant le signe d’un terme déplacé.

📐 Formule — Après regroupement, une équation de la forme $ax=b$ a pour solution $x=\frac{b}{a}$.

💡 Astuce mémo

Inconnues d’un côté, nombres de l’autre, puis ax = b

📖 5. Applications aux fonctions et problèmes

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le bénéfice $B(x)=0{,}025x-12{,}5$ est nul lorsque $0{,}025x-12{,}5=0$, ce qui donne $x=500$ ordinateurs.

📐 Formule — Pour déterminer l’antécédent de 30 par $f(x)=2x+5$, on résout $2x+5=30$ et on obtient $x=12{,}5$.

• Dans une entreprise de 90 employés comptant quatre fois plus d’hommes que de femmes, si x désigne le nombre de femmes, alors les hommes sont 4x et $x+4x=90$, d’où 18 femmes et 72 hommes.