Fiche de révision : Équations et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique du polynôme
2. Sommet de la parabole
3. Sens de variation

📖 1. Forme canonique du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré définie par f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0, peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les paramètres de la forme canonique sont donnés par $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=\frac{-b^2+4ac}{4a}$.

• Pour f(x) = -0,5x² + 4x + 2, on obtient α = 4, β = 10 et la forme canonique $f(x)=-0{,}5(x-4)^2+10$.

Compléments

• Pour établir la forme canonique, on développe $a(x-\alpha)^2+\beta$, on identifie les coefficients avec $ax^2+bx+c$, puis on en déduit α et β.

📖 2. Sommet de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole dont le sommet est le point S(α ; β).

📝 Points essentiels

• Pour une fonction écrite sous forme canonique, le sommet de la parabole a pour coordonnées $S(\alpha;\beta)$.

💡 Astuce mémo

Visualiser le sommet S(α ; β) comme le point le plus bas ou le plus haut de la parabole.

📖 3. Sens de variation

📝 Points essentiels

• Si a > 0, la fonction est décroissante sur ]-∞ ; α[, croissante sur [α ; +∞[ et atteint son minimum β pour x = α.

• Si a < 0, la fonction est croissante sur ]-∞ ; α[, décroissante sur [α ; +∞[ et atteint son maximum β pour x = α.

• Le signe de a détermine l’orientation de la parabole : a > 0 correspond à une parabole tournée vers le haut, tandis que a < 0 correspond à une parabole tournée vers le bas.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum en β ; a < 0 : maximum en β.

📊 Tableaux de synthèse

Variations selon le signe de a