Fiche de révision : Équations et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Identités remarquables principales
2. Développer et factoriser
3. Équations simples et carrées
4. Produit nul et factorisation
5. Équations du second degré

📖 1. Identités remarquables principales

★ À maîtriser

📐 Formule — Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — La différence de deux carrés vérifie $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• L’expression $(x+3)^2$ se développe en $x^2+6x+9$.

💡 Astuce mémo

Somme et différence gardent un carré positif ; les carrés opposés se soustraient.

📖 2. Développer et factoriser

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : supprimer les parenthèses en transformant un produit en somme
• Factoriser : transformer une somme en produit

★ À maîtriser

• Pour développer un produit de deux parenthèses, on multiplie chaque terme, puis on regroupe les termes semblables.

Compléments

• Le développement de $3(x+5)$ donne $3x+15$.

• La factorisation de $3x+15$ par facteur commun donne $3(x+5)$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 3. Équations simples et carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : contient une inconnue et cherche les valeurs qui rendent l’égalité vraie

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation simple, on effectue la même opération sur les deux membres afin d’isoler l’inconnue.

📐 Formule — L’équation $x^2=k$ admet les solutions $x=\pm\sqrt{k}$ lorsque ces solutions sont considérées dans les réels.

Compléments

• La résolution de $3x+5=17$ donne $x=4$ après soustraction de 5 puis division par 3.

• L’équation $x^2=25$ a pour ensemble de solutions $S=\{-5;5\}$.

💡 Astuce mémo

Une équation linéaire donne une valeur ; une équation en carré peut donner deux signes.

📖 4. Produit nul et factorisation

★ À maîtriser

📌 Si $A\times B=0$, alors $A=0$ ou $B=0$.

• 🔄 Pour résoudre une équation produit nul:

  1. factoriser l’expression
  2. annuler chaque facteur
  3. rassembler les solutions

• Pour résoudre $x^2-25=0$, on reconnaît une différence de carrés, on factorise en $(x-5)(x+5)=0$, puis on applique le produit nul.

Compléments

• La résolution de $(x-3)(x+5)=0$ donne $S=\{-5;3\}$.

💡 Astuce mémo

Factoriser, annuler chaque facteur, puis réunir les solutions.

📖 5. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : généralement de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant d’une équation du second degré est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, l’équation possède une seule solution $x=\frac{-b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, l’équation ne possède aucune solution réelle.

• 🔄 La méthode générale consiste à: développer, réduire, mettre tous les termes du même côté, factoriser si possible, utiliser le produit nul ou le discriminant si nécessaire

Compléments

• Pour $x^2-6x+8=0$, on obtient $a=1$, $b=-6$, $c=8$, puis $\Delta=4$ et les solutions $S=\{2;4\}$.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ détermine le nombre de solutions : positif → deux, nul → une, négatif → aucune réelle.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et solutions