Fiche de révision : Équations et inéquations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Expression B et méthodes de calcul
2. Expression C et produit nul
3. Problèmes géométriques avec équations
4. Expression A et factorisation commune
5. Résolution des inéquations
6. Identités remarquables et facteur commun
7. Aire du carré et du triangle

📖 1. Expression B et méthodes de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression B : Définie par $B(x)=(5x+8)^2-9$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le développement de B donne $B(x)=25x^2+80x+55$.

📐 Formule — La factorisation de B donne $B(x)=(5x+5)(5x+11)$.

📌 Pour résoudre B(x)=0, la règle du produit nul donne $x=-1$ ou $x=-\frac{11}{5}=-2{,}2$.

Compléments

• La valeur de B(-3) est 40.

💡 Astuce mémo

Calculer, développer, factoriser, résoudre

📖 2. Expression C et produit nul

📝 Points essentiels

📐 Formule — La factorisation de C est $C(x)=(x-2)(x-5)$.

📌 La résolution de C(x)=10 conduit à $x=0$ ou $x=7$.

📌 La résolution de C(x)=0 donne $x=2$ ou $x=5$.

📖 3. Problèmes géométriques avec équations

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le carré AMNP de côté x, l’aire vaut $A_{AMNP}=x^2$.

📌 L’égalité des deux aires conduit à $x^2=(3-x)(5-x)$, puis à $15-8x=0$.

• La valeur obtenue pour x dans le problème d’aires est $x=\frac{15}{8}=1{,}875$.

• Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore donne $AC^2=BA^2+BC^2$.

Compléments

📐 Formule — Avec AB=5 cm et AD=3 cm, l’aire de CJMI s’écrit $A_{CJMI}=(3-x)(5-x)$.

• Avec $AC=x+3$, $BA=x$ et $BC=5$, Pythagore conduit à $x=\frac{16}{6}\approx2{,}67$.

💡 Astuce mémo

Égalité des aires ou Pythagore → équation en x

📖 4. Expression A et factorisation commune

★ À maîtriser

📐 Formule — La mise en facteur commune donne $A(x)=(x-2)(-x+4)$.

Compléments

• Les valeurs particulières de l’expression A sont $A(-2)=-24$ et $A(0)=-8$.

💡 Astuce mémo

Le facteur commun (x − 2) est mis en évidence

📖 5. Résolution des inéquations

📝 Points essentiels

📌 La résolution de $-3x-7<21$ donne $x>-\frac{28}{3}\approx-9{,}3$.

💡 Astuce mémo

Le sens du signe change lorsqu’on divise par un nombre négatif

📖 6. Identités remarquables et facteur commun

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $A(x)=(3x+1)^2-25$, la différence de deux carrés donne $A(x)=(3x+6)(3x-4)$.

📌 La résolution de A(x)=0 donne $x=-2$ ou $x=\frac{4}{3}$.

📐 Formule — Pour $B(x)=5(x+3)^2-10(x+3)$, la factorisation par facteur commun donne $B(x)=(x+3)(5x+5)$.

Compléments

📐 Formule — Le développement de cette expression donne $B(x)=5x^2+20x+15$.

💡 Astuce mémo

Carré diminué d’un carré → deux facteurs → produit nul

📖 7. Aire du carré et du triangle

📝 Points essentiels

📌 Comme AB=x et AE=10 dans le carré ABCD et le triangle équilatéral BEF, les valeurs possibles vérifient $0<x<10$.

• L’aire du carré est inférieure ou égale à celle du triangle lorsque $4x\leq3(10-x)$.

📌 La résolution de $4x\leq3(10-x)$ donne $x\leq\frac{30}{7}$.

💡 Astuce mémo

Le carré croît avec x, tandis que le triangle dépend de 10 − x

📊 Tableaux de synthèse

Résolutions des expressions