QCM : Équations et inéquations du second degré — 21 questions

Question 1

1. Quelle expression définit $B(x)$ ?

B(x)=(5x-9)^2+8

B(x)=(5x+9)^2-8

B(x)=(5x+8)^2-9

B(x)=(5x-8)^2+9

Explication

L’expression donnée pour $B$ est le carré de $5x+8$ diminué de $9$ . Les autres propositions modifient les signes ou les constantes et définissent donc d’autres expressions.

Answer

$$B(x)=(5x+8)^2-9$$

Question 2

2. Quelle forme développée obtient-on pour $B(x)=(5x+8)^2-9$ ?

25x^2+80x+55

25x^2+40x+55

25x^2+80x+73

10x^2+80x+55

Explication

Le développement du carré puis la soustraction de $9$ donnent $25x^2+80x+55$ . Le terme en $x$ doit provenir de $2\times 5x\times 8$ , soit $80x$ .

Answer

$$25x^2+80x+55$$

Question 3

3. Quelle factorisation correspond à l’expression $B(x)$ ?

(5x-5)(5x+11)

(5x+3)(5x+15)

(5x+8)(5x+1)

(5x+5)(5x+11)

Explication

La différence de deux carrés permet d’écrire $B(x)=(5x+5)(5x+11)$ . Les autres produits ne redonnent pas les mêmes coefficients après développement.

Answer

$$(5x+5)(5x+11)$$

Question 4

4. Quelles sont les solutions de l’équation $B(x)=0$ ?

x=-1

ou

x=\frac{11}{5}

x=1

ou

x=\frac{11}{5}

x=-1

ou

x=-\frac{11}{5}

x=55

ou

x=-\frac{11}{5}

Explication

La forme factorisée donne $(5x+5)(5x+11)=0$ , donc $x=-1$ ou $x=-\frac{11}{5}$ . La valeur $55$ est une constante de la forme développée et ne constitue pas une solution de l’équation nulle.

Answer

$$x=-1$$ ou $$x=-\frac{11}{5}$$

Question 5

5. Quelle est la forme factorisée de $C(x)$ ?

(x+2)(x-5)

(x-2)(x+5)

(x-2)(x-5)

(x+2)(x+5)

Explication

La factorisation de $C$ est $(x-2)(x-5)$ . Les signes des deux facteurs déterminent les racines $2$ et $5$ .

Answer

$$(x-2)(x-5)$$

Question 6

6. Quelles valeurs de $x$ vérifient l’équation $C(x)=10$ ?

x=1

ou

x=10

x=0

ou

x=7

x=-2

ou

x=-5

x=2

ou

x=5

Explication

La résolution de $C(x)=10$ conduit aux valeurs $x=0$ et $x=7$ . Les nombres $2$ et $5$ correspondent aux solutions de $C(x)=0$ , et non à cette équation.

Answer

$$x=0$$ ou $$x=7$$

Question 7

7. Quelles sont les racines de l’équation $C(x)=0$ ?

x=0

ou

x=7

x=2

ou

x=5

x=-2

ou

x=-5

x=1

ou

x=10

Explication

Comme $C(x)=(x-2)(x-5)$ , le produit est nul lorsque $x-2=0$ ou $x-5=0$ , d’où $x=2$ ou $x=5$ . Les valeurs $0$ et $7$ proviennent de la résolution de $C(x)=10$ .

Answer

$$x=2$$ ou $$x=5$$

Question 8

8. Quelle expression représente l’aire du carré AMNP de côté $x$ ?

x^2

2x

4x

(3-x)(5-x)

Explication

L’aire d’un carré est le carré de la longueur de son côté, donc elle vaut $x^2$ . L’expression $(3-x)(5-x)$ représente l’aire du rectangle associé dans ce problème.

Answer

$$x^2=(3-x)(5-x)$$

Answer

$$x=\frac{15}{8}=1,875$$

Answer

$$AC^2=BA^2+BC^2$$

Answer

$$A(x)=(x-2)(-x+4)$$

Answer

$$A(-2)=-24$$ et $$A(0)=-8$$

Answer

$$x>-\frac{28}{3}$$

Answer

Parce que l’on divise par un nombre négatif

Answer

$$A(x)=(3x+6)(3x-4)$$

Answer

$$x=-2$$ ou $$x=\frac{4}{3}$$

Answer

$$B(x)=(x+3)(5x+5)$$

Answer

Elle vérifie $$0<x<10$$.

Answer

$$4x\leq3(10-x)$$

Answer

$$x\leq\frac{30}{7}$$

Question 9

9. Quelle équation obtient-on en égalant les aires du carré et du rectangle associé ?

x^2=15-3x-5x

x^2=(3-x)(5-x)

x^2=(3+x)(5+x)

2x=(3-x)(5-x)

Explication

L’aire du carré est $x^2$ et celle du rectangle est $(3-x)(5-x)$ , donc leur égalité s’écrit $x^2=(3-x)(5-x)$ . En développant et en simplifiant, cette relation conduit ensuite à $15-8x=0$ .

Question 10

10. Quelle valeur de $x$ résulte de l’équation d’égalité des aires ?

x=\frac{15}{8}=1,875

x=\frac{8}{3}\approx2,67

x=\frac{8}{15}\approx0,533

x=\frac{15}{3}=5

Explication

La relation simplifiée $15-8x=0$ donne $8x=15$ , donc $x=\frac{15}{8}=1,875$ . La valeur $\frac{8}{3}$ appartient à un autre calcul géométrique et ne résout pas cette égalité d’aires.

Question 11

11. Dans le triangle ABC rectangle en B, quelle relation de Pythagore est correcte ?

AC^2=BA^2+BC^2

AC=BA^2+BC^2

BA^2=AC^2+BC^2

BC^2=BA^2+AC^2

Explication

L’angle droit étant en B, le côté opposé $AC$ est l’hypoténuse, et son carré est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit. Les deux autres égalités placent un côté de l’angle droit au rôle de l’hypoténuse.

Question 12

12. Quelle est la forme factorisée de $A(x)$ obtenue par mise en facteur commune ?

A(x)=(x-2)(-x+4)

A(x)=(x+2)(x+4)

A(x)=(x+2)(-x+4)

A(x)=(x-2)(x+4)

Explication

La mise en facteur commune conduit à deux facteurs, $x-2$ et $-x+4$ . Les autres expressions modifient le signe d’un des termes et ne correspondent pas à la factorisation donnée.

Question 13

13. Quelles sont les valeurs particulières correctes de $A(x)$ pour $x=-2$ et $x=0$ ?

A(-2)=-24

et

A(0)=-8

A(-2)=-8

et

A(0)=-24

A(-2)=8

et

A(0)=24

A(-2)=24

et

A(0)=8

Explication

Les valeurs calculées sont $A(-2)=-24$ et $A(0)=-8$ . L’erreur la plus plausible consiste à intervertir les deux résultats associés aux valeurs de $x$ .

Question 14

14. Quelle solution vérifie l’inéquation $-3x-7<21$ ?

x<-\frac{28}{3}

x<\frac{28}{3}

x>\frac{28}{3}

x>-\frac{28}{3}

Explication

Après soustraction de $-7$ puis division par $-3$ , le sens de l’inégalité s’inverse, ce qui donne $x>-\frac{28}{3}$ . Une division par un nombre positif ne changerait pas le sens, mais ce n’est pas le cas ici.

Question 15

15. Pourquoi le sens de l’inégalité change-t-il lors de la résolution de $-3x-7<21$ ?

Parce que le membre de droite vaut

21

Parce que l’on ajoute un nombre négatif

Parce que l’on divise par un nombre négatif

Parce que le terme constant vaut

-7

Explication

Le sens s’inverse lorsqu’une inégalité est divisée par un nombre négatif, ici $-3$ . L’addition ou la soustraction d’un nombre, comme la présence de $-7$ ou de $21$ , ne provoque pas cette inversion.

Question 16

16. Quelle est la factorisation de $A(x)=(3x+1)^2-25$ par différence de deux carrés ?

A(x)=(3x-6)(3x+4)

A(x)=(3x+26)(3x-24)

A(x)=(3x+1)(3x-25)

A(x)=(3x+6)(3x-4)

Explication

On reconnaît $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$ avec $u=3x+1$ et $v=5$ , d’où les facteurs $3x-4$ et $3x+6$ . Il s’agit d’une différence de carrés, et non d’une somme de carrés.

Question 17

17. Quelles sont les solutions de l’équation $A(x)=0$ lorsque $A(x)=(3x+6)(3x-4)$ ?

x=-2

ou

x=\frac{4}{3}

x=\frac{1}{2}

ou

x=-\frac{3}{4}

x=-6

ou

x=4

x=2

ou

x=-\frac{4}{3}

Explication

Un produit est nul lorsqu’un de ses facteurs est nul : $3x+6=0$ donne $x=-2$ et $3x-4=0$ donne $x=\frac{4}{3}$ . Les signes des solutions ne s’obtiennent pas en recopiant directement les constantes des facteurs.

Question 18

18. Quelle est la forme factorisée de $B(x)=5(x+3)^2-10(x+3)$ après extraction du facteur commun ?

B(x)=(5x+3)(x+5)

B(x)=(x+3)(5x+5)

B(x)=(x+3)(5x-5)

B(x)=5(x+3)(x+13)

Explication

Le facteur commun est $x+3$ , et l’expression restante est $5(x+3)-10=5x+5$ . Les autres formes extraient mal le facteur commun ou modifient le signe du terme constant.

Question 19

19. Dans le carré ABCD et le triangle équilatéral BEF, quelles valeurs peut prendre la longueur $x=AB$ lorsque $AE=10$ ?

Elle vérifie

0\leq x\leq10

.

Elle vérifie

0<x\leq10

.

Elle vérifie

0<x<10

.

Elle vérifie

0\leq x<10

.

Explication

La longueur $x$ doit être strictement comprise entre 0 et 10, car les deux bornes sont exclues. L’intervalle fermé inclurait à tort les valeurs limites $0$ et $10$ .

Question 20

20. Quelle inégalité traduit que l’aire du carré est inférieure ou égale à celle du triangle équilatéral dans cette configuration ?

4x\leq3(10-x)

4(10-x)\leq3x

3x\leq4(10-x)

4x\geq3(10-x)

Explication

La comparaison des deux aires est modélisée par $4x\leq3(10-x)$ . L’expression $4x$ et l’expression $3(10-x)$ servent à représenter les aires comparées, et non des longueurs indépendantes.

Question 21

21. Après résolution de l’inégalité $4x\leq3(10-x)$ , quelle condition obtient-on pour $x$ ?

x\geq\frac{30}{7}

x\leq\frac{21}{10}

x\leq\frac{30}{7}

x\geq\frac{21}{10}

Explication

En développant puis en regroupant les termes, on obtient $7x\leq30$ , donc $x\leq\frac{30}{7}$ . Une inégalité inversée conduirait à une condition incompatible avec le sens initial de la comparaison des aires.

QCM : Équations et inéquations du second degré — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit $B(x)$ ?

2. Quelle forme développée obtient-on pour $B(x)=(5x+8)^2-9$ ?

3. Quelle factorisation correspond à l’expression $B(x)$ ?

4. Quelles sont les solutions de l’équation $B(x)=0$ ?

5. Quelle est la forme factorisée de $C(x)$ ?

6. Quelles valeurs de $x$ vérifient l’équation $C(x)=10$ ?

7. Quelles sont les racines de l’équation $C(x)=0$ ?

8. Quelle expression représente l’aire du carré AMNP de côté $x$ ?

9. Quelle équation obtient-on en égalant les aires du carré et du rectangle associé ?

10. Quelle valeur de $x$ résulte de l’équation d’égalité des aires ?

11. Dans le triangle ABC rectangle en B, quelle relation de Pythagore est correcte ?

12. Quelle est la forme factorisée de $A(x)$ obtenue par mise en facteur commune ?

13. Quelles sont les valeurs particulières correctes de $A(x)$ pour $x=-2$ et $x=0$ ?

14. Quelle solution vérifie l’inéquation $-3x-7<21$ ?

15. Pourquoi le sens de l’inégalité change-t-il lors de la résolution de $-3x-7<21$ ?

16. Quelle est la factorisation de $A(x)=(3x+1)^2-25$ par différence de deux carrés ?

17. Quelles sont les solutions de l’équation $A(x)=0$ lorsque $A(x)=(3x+6)(3x-4)$ ?

18. Quelle est la forme factorisée de $B(x)=5(x+3)^2-10(x+3)$ après extraction du facteur commun ?

19. Dans le carré ABCD et le triangle équilatéral BEF, quelles valeurs peut prendre la longueur $x=AB$ lorsque $AE=10$ ?

20. Quelle inégalité traduit que l’aire du carré est inférieure ou égale à celle du triangle équilatéral dans cette configuration ?

21. Après résolution de l’inégalité $4x\leq3(10-x)$ , quelle condition obtient-on pour $x$ ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit B(x)B(x)B(x) ?

2. Quelle forme développée obtient-on pour B(x)=(5x+8)2−9B(x)=(5x+8)^2-9B(x)=(5x+8)2−9 ?

3. Quelle factorisation correspond à l’expression B(x)B(x)B(x) ?

4. Quelles sont les solutions de l’équation B(x)=0B(x)=0B(x)=0 ?

5. Quelle est la forme factorisée de C(x)C(x)C(x) ?

6. Quelles valeurs de xxx vérifient l’équation C(x)=10C(x)=10C(x)=10 ?

7. Quelles sont les racines de l’équation C(x)=0C(x)=0C(x)=0 ?

8. Quelle expression représente l’aire du carré AMNP de côté xxx ?

9. Quelle équation obtient-on en égalant les aires du carré et du rectangle associé ?

10. Quelle valeur de xxx résulte de l’équation d’égalité des aires ?

11. Dans le triangle ABC rectangle en B, quelle relation de Pythagore est correcte ?

12. Quelle est la forme factorisée de A(x)A(x)A(x) obtenue par mise en facteur commune ?

13. Quelles sont les valeurs particulières correctes de A(x)A(x)A(x) pour x=−2x=-2x=−2 et x=0x=0x=0 ?

14. Quelle solution vérifie l’inéquation −3x−7<21-3x-7<21−3x−7<21 ?

15. Pourquoi le sens de l’inégalité change-t-il lors de la résolution de −3x−7<21-3x-7<21−3x−7<21 ?

16. Quelle est la factorisation de A(x)=(3x+1)2−25A(x)=(3x+1)^2-25A(x)=(3x+1)2−25 par différence de deux carrés ?

17. Quelles sont les solutions de l’équation A(x)=0A(x)=0A(x)=0 lorsque A(x)=(3x+6)(3x−4)A(x)=(3x+6)(3x-4)A(x)=(3x+6)(3x−4) ?

18. Quelle est la forme factorisée de B(x)=5(x+3)2−10(x+3)B(x)=5(x+3)^2-10(x+3)B(x)=5(x+3)2−10(x+3) après extraction du facteur commun ?

19. Dans le carré ABCD et le triangle équilatéral BEF, quelles valeurs peut prendre la longueur x=ABx=ABx=AB lorsque AE=10AE=10AE=10 ?

20. Quelle inégalité traduit que l’aire du carré est inférieure ou égale à celle du triangle équilatéral dans cette configuration ?

21. Après résolution de l’inégalité 4x≤3(10−x)4x\leq3(10-x)4x≤3(10−x), quelle condition obtient-on pour xxx ?

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2. Quelle forme développée obtient-on pour $B(x)=(5x+8)^2-9$ ?

3. Quelle factorisation correspond à l’expression $B(x)$ ?

4. Quelles sont les solutions de l’équation $B(x)=0$ ?

5. Quelle est la forme factorisée de $C(x)$ ?

6. Quelles valeurs de $x$ vérifient l’équation $C(x)=10$ ?

7. Quelles sont les racines de l’équation $C(x)=0$ ?

8. Quelle expression représente l’aire du carré AMNP de côté $x$ ?

10. Quelle valeur de $x$ résulte de l’équation d’égalité des aires ?

12. Quelle est la forme factorisée de $A(x)$ obtenue par mise en facteur commune ?

13. Quelles sont les valeurs particulières correctes de $A(x)$ pour $x=-2$ et $x=0$ ?

14. Quelle solution vérifie l’inéquation $-3x-7<21$ ?

15. Pourquoi le sens de l’inégalité change-t-il lors de la résolution de $-3x-7<21$ ?

16. Quelle est la factorisation de $A(x)=(3x+1)^2-25$ par différence de deux carrés ?

17. Quelles sont les solutions de l’équation $A(x)=0$ lorsque $A(x)=(3x+6)(3x-4)$ ?

18. Quelle est la forme factorisée de $B(x)=5(x+3)^2-10(x+3)$ après extraction du facteur commun ?

19. Dans le carré ABCD et le triangle équilatéral BEF, quelles valeurs peut prendre la longueur $x=AB$ lorsque $AE=10$ ?

21. Après résolution de l’inégalité $4x\leq3(10-x)$ , quelle condition obtient-on pour $x$ ?