Fiche de révision : Équations et polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique et équations
2. Discriminant et racines
3. Factorisation par identification
4. Aires et équations géométriques
5. Polynômes strictement positifs
6. Intersections et signes

📖 1. Forme canonique et équations

★ À maîtriser

• La forme canonique de $3x^2+12x+2$ est $3(x+2)^2-10$, obtenue en complétant le carré.

• Pour résoudre $3(x+2)^2=27$, on obtient successivement $(x+2)^2=9$, puis $x+2=3$ ou $x+2=-3$, d'où $x=1$ ou $x=-5$.

Compléments

• L'équation $3x^2+12x+2=17$ se ramène, grâce à la forme canonique, à $3(x+2)^2=27$ et possède donc les solutions $S=\{-5;1\}$.

💡 Astuce mémo

Développer, compléter le carré, isoler le carré, extraire les deux solutions

📖 2. Discriminant et racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant d'un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Lorsque $\Delta>0$, les deux racines d'un polynôme du second degré sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $-3x^2+3x+6=0$, le discriminant vaut $\Delta=81$ et les deux racines calculées sont $x=2$ et $x=-1$; seule $x=2$ est retenue lorsque la variable ne peut pas être négative.

💡 Astuce mémo

Δ positif donne deux racines, tandis que Δ nul en donne une et Δ négatif aucune

📖 3. Factorisation par identification

★ À maîtriser

📌 Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

• Pour factoriser $-3x^3+9x^2-12$ par $x-2$, l'identification des coefficients donne $a=-3$, $c=6$ puis $b=3$, donc $-3x^3+9x^2-12=(x-2)(-3x^2+3x+6)$.

Compléments

• L'équation $-3x^3+9x^2-12=0$ devient $(x-2)(-3x^2+3x+6)=0$ après factorisation.

💡 Astuce mémo

Trouver a et c, développer, identifier b, puis appliquer le produit nul

📖 4. Aires et équations géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le rectangle hachuré, les dimensions sont $L=x$ et $l=-3x^2+9x$, donc son aire vaut $A=-3x^3+9x^2$.

📐 Formule - Dans le rectangle de dimensions $7\,\text{cm}$ et $5\,\text{cm}$, l'aire grisée est $A=2x^2-12x+35$.

• Imposer une aire de $12$ au rectangle conduit à l'équation $-3x^3+9x^2-12=0$.

Compléments

• L'égalité $2x^2-12x+35=25$ se réduit à $2x^2-12x+10=0$, dont les racines sont $x=1$ et $x=5$.

💡 Astuce mémo

Dimensions → aire → équation polynomiale → valeurs admissibles de x

📖 5. Polynômes strictement positifs

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le développement réduit de $Q(x)=(2x^2-x+1)^2+3(2x^2-x+1)+1$ est $Q(x)=4x^4-4x^3+11x^2-5x+5$.

📌 Comme le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, on a $(2x^2-x+1)^2+3(2x^2-x+1)+1>0$ dans l'étude présentée.

📌 Puisque $Q(x)$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$, l'équation $4x^4-4x^3+11x^2-5x+5=0$ n'admet aucune racine.

💡 Astuce mémo

Un carré toujours positif qui entraîne toute l’expression Q au-dessus de zéro

📖 6. Intersections et signes

★ À maîtriser

📌 Comme le coefficient du terme du second degré est négatif, le polynôme $-\frac{9}{2}x^2+9x-4$ est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

• Les abscisses des intersections de deux courbes se déterminent en posant $f(x)=g(x)$, puis en résolvant l'équation obtenue.

Compléments

• Pour les fonctions étudiées, l'équation $-\frac{9}{2}x^2+9x-4=0$ a pour racines $x=\frac{2}{3}$ et $x=\frac{4}{3}$.

📌 Dans l'étude fournie, $C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $]-\infty;\frac{2}{3}[\cup]\frac{4}{3};+\infty[$, tandis que l'intervalle $]\frac{2}{3};\frac{4}{3}[$ correspond à la position opposée indiquée par le tableau de signes.

💡 Astuce mémo

Égaliser les fonctions, calculer les racines, dresser le signe, comparer les courbes