QCM : Équations et polynômes du second degré (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la forme canonique de 3x2+12x+23x^2+12x+2 ?

3(x−2)2−103(x-2)^2-10
3(x+2)2−103(x+2)^2-10
3(x−2)2+103(x-2)^2+10
3(x+2)2+103(x+2)^2+10

$$3(x+2)^2-10$$

Explication

En complétant le carré, on regroupe l’expression sous la forme 3(x+2)2−103(x+2)^2-10. L’expression développée donnée au départ n’est pas encore une forme canonique, tandis que changer le signe devant le nombre dans la parenthèse modifierait le terme linéaire.

2. Quelles sont les solutions de l’équation 3(x+2)2=273(x+2)^2=27 ?

x=3x=3 ou x=−3x=-3
x=5x=5 ou x=−1x=-1
x=1x=1 ou x=−1x=-1
x=1x=1 ou x=−5x=-5

$$x=1$$ ou $$x=-5$$

Explication

En divisant par 33, on obtient (x+2)2=9 (x+2)^2=9, donc x+2=3x+2=3 ou x+2=−3x+2=-3, ce qui donne les deux solutions indiquées. Les valeurs 33 et −3-3 correspondent à x+2x+2, pas directement à xx.

3. Quelle expression définit le discriminant du polynôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c ?

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac
Δ=2b−4ac\Delta=2b-4ac
Δ=4ac−b2\Delta=4ac-b^2

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant se calcule avec la relation Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. L’expression b2+4acb^2+4ac conserve les mêmes termes mais modifie le signe essentiel devant 4ac4ac.

4. Pour un polynôme du second degré tel que Δ>0\Delta>0, quelles formules donnent ses deux racines ?

x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x1=−b−Δax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a} et x2=−b+Δax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}
x1=b−Δ2ax_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=b+Δ2ax_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}
x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\Delta}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\Delta}{2a}

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Explication

Lorsque Δ>0\Delta>0, les racines s’obtiennent en ajoutant et en retranchant Δ\sqrt{\Delta} au numérateur, puis en divisant par 2a2a. La proposition utilisant Δ\Delta sans racine ne correspond pas à la formule quadratique.

5. Quelle est la définition du discriminant d'un polynôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c ?

Le discriminant est la somme des racines du polynôme.
Le discriminant est la différence entre les deux racines du polynôme.
Le discriminant est la valeur b2−4acb^2-4ac qui permet de déterminer le nombre et la nature des racines.
Le discriminant est le produit des racines du polynôme.

Le discriminant est la valeur $$b^2-4ac$$ qui permet de déterminer le nombre et la nature des racines.

Explication

Le discriminant, défini par extbackslashDelta=b2−4ac extbackslash Delta=b^2-4ac, indique si le polynôme a deux racines réelles, une racine réelle unique ou aucune racine réelle. Les autres options décrivent des propriétés différentes ou incorrectes.

6. Quel est le nom de la formule qui permet de déterminer si un polynôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c possède deux racines réelles distinctes ?

La formule de la dérivée du polynôme
Le discriminant △=b2−4ac\triangle=b^2-4ac
La formule du sommet du parabole
La formule de la racine moyenne

Le discriminant $$\triangle=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant △=b2−4ac\triangle=b^2-4ac indique si un polynôme du second degré a deux racines réelles distinctes lorsque △>0\triangle>0. La formule de la racine moyenne ne concerne pas la nature des racines, tandis que la formule du sommet et la dérivée ne donnent pas directement cette information.

7. Quel est le rôle principal de la fonction d'un polynôme strictement positif sur \\mathbb{R} ?

Elle permet de déterminer si le polynôme est croissant ou décroissant.
Elle sert à identifier si le polynôme est borné ou non.
Elle indique que le polynôme ne possède aucune racine réelle.
Elle facilite la résolution d'équations polynomiales de degré supérieur.

Elle indique que le polynôme ne possède aucune racine réelle.

Explication

La fonction d'un polynôme strictement positif sur \\mathbb{R} est toujours au-dessus de l'axe des abscisses, ce qui implique qu'il n'a pas de racines réelles. Cela est utile pour analyser la positivité ou négativité d'une expression polynomiale dans divers contextes.

8. En quoi la méthode de résolution par intersections et signes diffère-t-elle de la méthode utilisant la forme canonique pour analyser un polynôme ?

Les intersections et signes sont utilisés pour visualiser graphiquement le polynôme, alors que la forme canonique ne donne pas d'informations sur le graphique.
La méthode par intersections et signes ne nécessite pas de calculs, alors que la forme canonique repose uniquement sur des calculs algébriques.
La méthode par intersections et signes ne concerne que les polynômes du second degré, contrairement à la forme canonique qui s'applique à tous les polynômes.
La méthode par intersections et signes consiste à étudier le signe du polynôme en fonction de ses racines, tandis que la forme canonique permet de déterminer directement ses racines.

La méthode par intersections et signes consiste à étudier le signe du polynôme en fonction de ses racines, tandis que la forme canonique permet de déterminer directement ses racines.

Explication

La méthode par intersections et signes consiste à analyser le signe du polynôme selon ses racines pour déterminer où il est positif ou négatif, ce qui est différent de la forme canonique qui permet de trouver directement ses racines. La forme canonique ne se limite pas à l'étude du signe.

9. Quelles sont les causes principales qui expliquent la transformation d'une équation quadratique en sa forme canonique ?

L'application de la formule de Vieta
La factorisation par identification
L'utilisation de la formule du discriminant
Le développement et la complétion du carré

Le développement et la complétion du carré

Explication

La transformation en forme canonique repose sur le développement, la complétion du carré, et l'isolation du carré. La factorisation et la formule du discriminant sont des méthodes différentes qui ne conduisent pas directement à la forme canonique.

10. Comment utiliser la forme canonique d'une équation quadratique pour résoudre l'équation 3x2+12x+2=173x^2+12x+2=17 ?

En factorisant directement l'équation en 3(x+2)2−10=03(x+2)^2-10=0 et en résolvant.
En développant l'équation pour obtenir une forme standard et en utilisant la formule du discriminant.
En complétant le carré pour transformer l'équation en une forme permettant d'isoler xx directement.
En écrire l'équation sous la forme 3(x+2)2=273(x+2)^2=27 puis extraire les racines en isolant x+2x+2.

En écrire l'équation sous la forme $$3(x+2)^2=27$$ puis extraire les racines en isolant $$x+2$$.

Explication

La forme canonique permet de transformer l'équation en une expression où l'on peut facilement extraire les racines en isolant x+2x+2. La méthode consiste à écrire 3(x+2)2=273(x+2)^2=27, puis à prendre la racine carrée des deux côtés pour trouver $$x+2= \

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Quelle est la forme canonique de 3x2+12x+23x^2+12x+2 ?

3(x+2)2−103(x+2)^2-10

Quelles sont les solutions de l'équation 3(x+2)2=273(x+2)^2=27 ?

x=1x=1 ou x=−5x=-5

Quelle est la formule du discriminant d'un polynôme ax2+bx+cax^2+bx+c ?

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

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