Équations et polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique et équations
2. Discriminant et racines
3. Factorisation par identification
4. Aires et équations géométriques
5. Polynômes strictement positifs
6. Intersections et signes

📖 1. Forme canonique et équations

★ À maîtriser

• La forme canonique de $3x^2+12x+2$ est $3(x+2)^2-10$, obtenue en complétant le carré.

• Pour résoudre $3(x+2)^2=27$, on obtient successivement $(x+2)^2=9$, puis $x+2=3$ ou $x+2=-3$, d'où $x=1$ ou $x=-5$.

Compléments

• L'équation $3x^2+12x+2=17$ se ramène, grâce à la forme canonique, à $3(x+2)^2=27$ et possède donc les solutions $S=\{-5;1\}$.

💡 Astuce mémo

Développer, compléter le carré, isoler le carré, extraire les deux solutions

📖 2. Discriminant et racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant d'un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Lorsque $\Delta>0$, les deux racines d'un polynôme du second degré sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $-3x^2+3x+6=0$, le discriminant vaut $\Delta=81$ et les deux racines calculées sont $x=2$ et $x=-1$; seule $x=2$ est retenue lorsque la variable ne peut pas être négative.

💡 Astuce mémo