Fiche de révision : Espaces probabilisés

📋 Plan du Cours

1. Épreuves et événements aléatoires
2. Opérations et partitions d’événements
3. Tribus et espaces probabilisables
4. Axiomes et propriétés des probabilités
5. Formules et continuité des probabilités
6. Probabilités sur un ensemble fini
7. Univers dénombrables et densités

📖 1. Épreuves et événements aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve aléatoire : Une épreuve est aléatoire lorsque son résultat ne peut pas être prédit avec certitude.
• Univers : Ensemble des résultats possibles d’une épreuve, fini ou infini ; chacun de ses éléments est une issue ou réalisation.
• Événement : Partie de l’univers Ω ; une issue ω le réalise lorsque ω appartient à cette partie.

📝 Points essentiels

• L’univers Ω est l’événement certain, l’ensemble vide ∅ est l’événement impossible et un événement réduit à une seule issue est élémentaire.

💡 Astuce mémo

L’issue est un résultat unique ; l’événement est un ensemble d’issues.

📖 2. Opérations et partitions d’événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : Complémentaire de A dans Ω, soit Ω \ A.
• Intersection : Événement « A et B ».
• Réunion : Événement « A ou B », au sens d’au moins l’un des deux.
• Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles, ou disjoints, lorsque A ∩ B = ∅.
• Partition : Famille d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω.

📖 3. Tribus et espaces probabilisables

🔑 Notions clés & Définitions

• Tribu : Famille de parties de Ω contenant Ω et stable par complémentaire et par réunion dénombrable.

📝 Points essentiels

• La tribu triviale sur Ω est {∅, Ω}, et l’ensemble P(Ω) de toutes les parties de Ω est également une tribu.

• Lorsque Ω est fini ou dénombrable, on étudie généralement ses parties dans P(Ω), tandis que pour un univers infini non dénombrable on utilise une tribu d’événements.

📖 4. Axiomes et propriétés des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Une probabilité sur une tribu T est une fonction P:T→[0,1] telle que P(Ω)=1 et que la probabilité d’une réunion dénombrable d’événements deux à deux disjoints soit la somme de leurs probabilités.
• Espace probabilisé : Triplet (Ω,T,P) formé d’un univers, d’une tribu et d’une probabilité.

★ À maîtriser

• Pour tout événement A, P(∅)=0 et P(Aᶜ)=1−P(A).

📌 Si A et B sont des événements et A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B).

Compléments

• Pour deux événements disjoints A et B, l’additivité d’une probabilité donne P(A ∪ B)=P(A)+P(B).

📖 5. Formules et continuité des probabilités

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B).$

📐 Formule - Pour n événements A₁,…,Aₙ, le théorème du crible donne $P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}P\left(\bigcap_{j=1}^{k}A_{i_j}\right).$ - Poincaré, Théorème de Poincaré, ou théorème du crible

• Si une suite d’événements vérifie Aᵢ ⊂ Aᵢ₊₁ et si A=⋃ᵢ₌₁^∞ Aᵢ, alors P(A)=limₙ→₊∞P(Aₙ).

Compléments

📐 Formule - Pour une famille finie d’événements incompatibles A₁,…,Aₙ, $P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i).$

📖 6. Probabilités sur un ensemble fini

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Situation où toutes les issues élémentaires d’un univers fini non vide ont la même probabilité.

📝 Points essentiels

• Sur un univers fini Ω={e₁,…,eₙ}, on attribue à chaque issue eᵢ un poids pᵢ positif ou nul, avec une somme égale à 1, puis on définit P(A)=∑_{e∈A}P(e).

📐 Formule - En équiprobabilité sur un univers fini Ω, $P(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(Ω)}=\frac{\text{nombre d’issues réalisant }A}{\text{nombre d’issues possibles}}.$

📖 7. Univers dénombrables et densités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité à densité : Probabilité définie sur un univers non dénombrable, le plus souvent ℝ ou un sous-intervalle [a,b].

★ À maîtriser

• Sur un univers dénombrable Ω={eᵢ}, on attribue aux issues des probabilités comprises entre 0 et 1 dont la somme vaut 1, puis la probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues de A.

Compléments

• Lorsqu’on lance une pièce jusqu’à obtenir face, l’univers des issues est {F, PF, PPF, PPPF, …} et la probabilité d’obtenir face au iᵉ lancer est 1/2ⁱ.

• Dans l’exemple du lancer d’une pièce jusqu’à obtenir face, la somme des probabilités des issues vaut ∑ᵢ₌₁^∞1/2ⁱ=1.

💡 Astuce mémo

Issues dénombrables : probabilités ponctuelles sommées ; univers non dénombrable : probabilités à densité.