QCM : Espaces probabilisés (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une épreuve dont les résultats possibles sont connus, que désigne l’univers Ω\Omega ?

L’ensemble des résultats les plus susceptibles de se produire
L’ensemble des résultats possibles, fini ou infini, dont chaque élément est une issue
La collection des événements auxquels une probabilité est attribuée
L’ensemble des résultats observés lors d’une seule réalisation de l’épreuve

L’ensemble des résultats possibles, fini ou infini, dont chaque élément est une issue

Explication

L’univers rassemble toutes les issues possibles, qu’il soit fini ou infini, et chacune de ses issues est une réalisation de l’épreuve. Une observation unique ne donne qu’une issue, pas l’ensemble des possibilités.

2. Si A est inclus dans B, quelle relation doit-on avoir entre leurs probabilités ?

La somme des probabilités de A et de B est égale à un.
La probabilité de A est inférieure ou égale à celle de B.
Les probabilités de A et de B sont nécessairement égales.
La probabilité de A est supérieure ou égale à celle de B.

La probabilité de A est inférieure ou égale à celle de B.

Explication

La monotonie de la probabilité implique que l’inclusion de A dans B entraîne une probabilité de A inférieure ou égale à celle de B. L’inclusion n’impose pas l’égalité, car B peut contenir des issues supplémentaires.

3. Quel nom désigne le théorème qui exprime la probabilité d’une réunion finie par alternance des sommes d’intersections ?

La formule d’additivité des événements incompatibles.
La relation de complémentarité des événements contraires.
Le théorème de Poincaré, aussi appelé théorème du crible.
Le théorème de convergence monotone des événements croissants.

Le théorème de Poincaré, aussi appelé théorème du crible.

Explication

Le théorème du crible, également appelé théorème de Poincaré, combine les probabilités des intersections avec des signes alternés. L’additivité des événements incompatibles est une formule plus simple qui ne traite pas les intersections non vides.

4. Sur un univers dénombrable, comment calcule-t-on la probabilité d’un événement à partir des probabilités attribuées aux issues ?

En attribuant à l’événement la probabilité de son issue la plus probable
En multipliant les probabilités de toutes les issues de l’événement
En divisant le nombre d’issues de l’événement par le nombre total d’issues
En additionnant les probabilités des issues qui appartiennent à l’événement

En additionnant les probabilités des issues qui appartiennent à l’événement

Explication

Les probabilités des issues sont comprises entre 0 et 1 et leur somme sur l’univers vaut 1 ; la probabilité d’un événement est la somme des probabilités de ses issues. Le rapport du nombre d’issues serait une méthode de comptage, qui ne tient pas compte des probabilités attribuées.

5. Quelles propriétés caractérisent une tribu T\mathcal{T} sur un univers Ω\Omega ?

Elle contient l’ensemble vide et est stable par intersection finie seulement
Elle contient Ω\Omega et est stable par différence entre deux de ses éléments
Elle contient chaque singleton et est stable par réunion finie seulement
Elle contient Ω\Omega et est stable par complémentaire et réunion dénombrable

Elle contient $$\Omega$$ et est stable par complémentaire et réunion dénombrable

Explication

Une tribu contient l’univers et reste stable lorsqu’on prend le complémentaire ou une réunion dénombrable de ses éléments. La stabilité par intersection finie, à elle seule, ne définit pas une tribu.

6. Dans un univers Ω\Omega, comment caractérise-t-on le contraire AcA^{c} d’un événement AA ?

Comme les issues de AA qui sont les plus probables
Comme les issues appartenant à AA ou à un autre événement
Comme les issues communes à AA et à un autre événement
Comme les issues de Ω\Omega qui ne sont pas dans AA

Comme les issues de $$\Omega$$ qui ne sont pas dans $$A$$

Explication

Le contraire de AA est son complémentaire dans Ω\Omega, c’est-à-dire l’ensemble des issues de l’univers qui n’appartiennent pas à AA. L’union décrit plutôt les issues d’au moins l’un de deux événements.

7. Une suite d’événements vérifie An⊂An+1A_n \subset A_{n+1} et leur réunion est A. Vers quelle limite tend P(An)P(A_n) ?

Vers 1−P(A)1-P(A) lorsque nn tend vers l’infini.
Vers P(A1)P(A_1) lorsque nn tend vers l’infini.
Vers la somme des probabilités P(An)P(A_n) lorsque nn tend vers l’infini.
Vers P(A)P(A) lorsque nn tend vers l’infini.

Vers $$P(A)$$ lorsque $$n$$ tend vers l’infini.

Explication

Pour une suite croissante d’événements, la probabilité de la réunion est la limite des probabilités des événements de la suite. La probabilité du complémentaire n’est pas la limite décrite par cette propriété.

8. Dans une expérience, quelle situation correspond à l’événement A∩BA \cap B ?

Les événements AA et BB se réalisent tous les deux
Au moins l’un des événements AA ou BB se réalise
L’événement AA se réalise tandis que BB ne se réalise pas
Ni l’événement AA ni l’événement BB ne se réalise

Les événements $$A$$ et $$B$$ se réalisent tous les deux

Explication

L’intersection correspond à la réalisation simultanée des deux événements. La réalisation d’au moins l’un des deux correspond à leur réunion.

9. Sur un univers Ω\Omega, quelle affirmation distingue correctement la tribu triviale de P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) ?

La tribu triviale contient ∅\varnothing et Ω\Omega, tandis que P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) contient toutes les parties
La tribu triviale contient Ω\Omega sans ∅\varnothing, tandis que P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) contient les complémentaires
La tribu triviale contient toutes les parties, tandis que P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) contient ∅\varnothing et Ω\Omega
La tribu triviale contient les singletons, tandis que P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) contient les événements dénombrables

La tribu triviale contient $$\varnothing$$ et $$\Omega$$, tandis que $$\mathcal{P}(\Omega)$$ contient toutes les parties

Explication

La tribu triviale est formée des deux ensembles ∅\varnothing et Ω\Omega, alors que P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) regroupe toutes les parties de l’univers. Confondre ces deux familles inverse leur taille et leur contenu.

10. Quelle condition permet de conclure que deux événements AA et BB sont incompatibles ?

Leur intersection est vide, soit A∩B=∅A \cap B = \varnothing
Leur intersection est l’univers, soit A∩B=ΩA \cap B = \Omega
Leur réunion est vide, soit A∪B=∅A \cup B = \varnothing
Leur réunion est l’univers, soit A∪B=ΩA \cup B = \Omega

Leur intersection est vide, soit $$A \cap B = \varnothing$$

Explication

Deux événements incompatibles ne peuvent pas se réaliser ensemble : leur intersection est donc vide. Une réunion égale à l’univers signifie plutôt que les événements couvrent toutes les issues possibles.

11. Deux événements A et B peuvent se produire simultanément. Quelle formule donne la probabilité de leur réunion ?

P(A∪B)=P(A)P(B)−P(A∩B)P(A \cup B)=P(A)P(B)-P(A \cap B)
P(A∪B)=P(A)P(B)+P(A∩B)P(A \cup B)=P(A)P(B)+P(A \cap B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)+P(A∩B)P(A \cup B)=P(A)+P(B)+P(A \cap B)

$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$

Explication

La formule générale retranche l’intersection, qui a été comptée deux fois dans la somme des probabilités de A et de B. L’ajouter au lieu de la retrancher compterait encore davantage les issues communes.

12. Comment construit-on une probabilité sur un univers fini muni d’issues de poids attribués ?

On attribue le même poids à toutes les issues, puis on additionne les poids des événements qui les contiennent.
On attribue à chaque issue un poids strictement positif, puis on multiplie les poids des issues de l’événement.
On attribue à chaque événement un poids positif ou nul dont la somme vaut un, puis on retient le poids de l’issue la plus probable.
On attribue à chaque issue un poids positif ou nul dont la somme vaut un, puis on additionne les poids des issues de l’événement.

On attribue à chaque issue un poids positif ou nul dont la somme vaut un, puis on additionne les poids des issues de l’événement.

Explication

Les poids des issues élémentaires sont positifs ou nuls et leur somme est égale à un; la probabilité d’un événement est la somme des poids des issues qu’il contient. Attribuer le même poids à toutes les issues correspond au cas particulier de l’équiprobabilité.

13. Quelle propriété caractérise l’additivité dénombrable d’une probabilité sur une tribu ?

La probabilité d’une réunion dénombrable est la somme des probabilités, même si les événements se chevauchent.
La probabilité d’une réunion dénombrable d’événements deux à deux disjoints est la somme de leurs probabilités.
La probabilité de chaque réunion dénombrable est égale à la probabilité de son premier événement.
La probabilité d’une réunion dénombrable d’événements est le produit de leurs probabilités.

La probabilité d’une réunion dénombrable d’événements deux à deux disjoints est la somme de leurs probabilités.

Explication

L’additivité dénombrable s’applique à une famille d’événements deux à deux disjoints et donne la somme de leurs probabilités. En présence de chevauchements, cette somme directe peut compter certaines issues plusieurs fois.

14. Si une issue ω\omega appartient à un événement AA, que peut-on en conclure ?

L’issue ω\omega réalise l’événement AA, qui est une partie de Ω\Omega
L’événement AA constitue l’univers complet de l’épreuve
L’issue ω\omega est nécessairement l’unique élément de AA
L’événement AA est réalisé par toutes les issues de Ω\Omega

L’issue $$\omega$$ réalise l’événement $$A$$, qui est une partie de $$\Omega$$

Explication

Un événement est une partie de l’univers, et une issue qui appartient à cette partie réalise l’événement. Cette appartenance ne signifie pas que l’événement comprend une seule issue.

15. Quels éléments forment un espace probabilisé ?

Un univers, une famille quelconque de parties et une variable aléatoire définie sur celle-ci.
Un univers, une tribu sur cet univers et une probabilité définie sur cette tribu.
Un univers, une mesure de cardinalité et une famille d’événements disjoints.
Une tribu, une probabilité et un événement certain choisi dans cette tribu.

Un univers, une tribu sur cet univers et une probabilité définie sur cette tribu.

Explication

Un espace probabilisé est le triplet constitué de l’univers, d’une tribu et d’une probabilité. Une famille quelconque de parties ne remplace pas la tribu requise dans cette définition.

16. Si un événement A a pour probabilité 0,3, quelles sont les probabilités de son complémentaire et de l’événement impossible ?

Le complémentaire a une probabilité de 0,7 et l’événement impossible a une probabilité de 0.
Le complémentaire a une probabilité de 0,7 et l’événement impossible a une probabilité de 0,3.
Le complémentaire a une probabilité de 0,3 et l’événement impossible a une probabilité de 1.
Le complémentaire a une probabilité de 0 et l’événement impossible a une probabilité de 0,7.

Le complémentaire a une probabilité de 0,7 et l’événement impossible a une probabilité de 0.

Explication

La probabilité du complémentaire vaut un moins celle de A, tandis que l’événement impossible a une probabilité nulle. Confondre le complémentaire avec l’événement impossible mélange deux événements distincts.

17. Dans un univers fini équiprobable de 20 issues, un événement est réalisé par 5 issues. Quelle est sa probabilité ?

520\frac{5}{20}
515\frac{5}{15}
205\frac{20}{5}
1520\frac{15}{20}

$$\frac{5}{20}$$

Explication

En équiprobabilité, la probabilité est le nombre d’issues qui réalisent l’événement divisé par le nombre total d’issues, soit 520\frac{5}{20}. Le rapport inverse dépasse un et ne peut donc pas convenir comme probabilité dans ce cas.

18. Un système d’alarme se déclenche si le capteur AA ou le capteur BB détecte un problème. Quel événement modélise ce déclenchement ?

L’intersection A∩BA \cap B, où les deux événements se réalisent ensemble
La réunion A∪BA \cup B, où au moins un des deux événements se réalise
L’intersection de AA avec le contraire de BB
Le contraire AcA^{c}, où le capteur AA ne détecte rien

La réunion $$A \cup B$$, où au moins un des deux événements se réalise

Explication

La réunion regroupe les issues où au moins l’un des événements se produit, ce qui correspond au déclenchement décrit. L’intersection exigerait que les deux capteurs détectent simultanément un problème.

19. Dans quelle situation une épreuve est-elle qualifiée d’aléatoire ?

Lorsque son résultat ne peut pas être prédit avec certitude
Lorsque son résultat dépend d’un choix effectué à l’avance
Lorsque son univers contient un nombre fini d’issues
Lorsque ses résultats possibles sont tous équiprobables

Lorsque son résultat ne peut pas être prédit avec certitude

Explication

Une épreuve est aléatoire si son résultat ne peut être prévu avec certitude. Le fait que les issues soient équiprobables n’est pas nécessaire pour qu’elle soit aléatoire.

20. Quelle caractéristique distingue une probabilité à densité de la construction fondée sur la somme des probabilités des issues dénombrables ?

Elle est définie sur un univers fini dont les issues ont des probabilités égales
Elle est définie sur un univers non dénombrable, souvent un intervalle réel
Elle est définie sur un univers dénombrable dont les probabilités forment une somme infinie
Elle est définie sur un univers dénombrable où chaque issue a une probabilité nulle

Elle est définie sur un univers non dénombrable, souvent un intervalle réel

Explication

Une probabilité à densité est définie sur un univers non dénombrable, le plus souvent ℝ ou un intervalle [a,b]. Un univers dénombrable relève plutôt de la construction où l’on attribue des probabilités aux issues et où on les somme pour calculer celle d’un événement.

21. Dans quel cas les issues élémentaires d’un univers fini non vide sont-elles équiprobables ?

Lorsque toutes les issues élémentaires ont la même probabilité.
Lorsque la probabilité de chaque issue est égale à zéro.
Lorsque les événements formés de plusieurs issues ont la même probabilité.
Lorsque toutes les issues élémentaires ont des probabilités différentes.

Lorsque toutes les issues élémentaires ont la même probabilité.

Explication

L’équiprobabilité signifie que chacune des issues élémentaires a la même probabilité. L’égalité des probabilités d’événements composés n’est pas la définition de cette propriété.

Révisez avec les flashcards

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Quand une épreuve est-elle aléatoire ?

Son résultat ne peut pas être prédit avec certitude.

Que contient l’univers Ω d’une épreuve aléatoire ?

L’ensemble des résultats possibles.

Comment appelle-t-on chaque élément ω de l’univers Ω ?

Une issue ou réalisation.

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