QCM : Fonctions polynômes du second degré (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’un trinôme du second degré :

Un trinôme du second degré peut avoir des coefficients complexes.
Un trinôme du second degré est une fonction affine de degré un.
Un trinôme du second degré s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec des coefficients réels.
Un trinôme du second degré est défini sur l’ensemble des réels.
Un trinôme du second degré s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a=0a=0.

Un trinôme du second degré s’écrit $$f(x)=ax^2+bx+c$$, avec des coefficients réels. · Un trinôme du second degré est défini sur l’ensemble des réels.

Explication

La forme générale comporte trois coefficients réels et définit la fonction sur R\mathbb{R}. Le coefficient quadratique doit être non nul : le cas a=0a=0 ne donne pas un trinôme du second degré, et une fonction affine est de degré un.

2. Un trinôme du second degré est défini par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c. Quelles conditions portent sur ses coefficients ?

Les coefficients aa, bb et cc sont réels, avec a=0a=0.
Les coefficients aa, bb et cc sont réels, avec c≠0c\ne0.
Les coefficients aa, bb et cc sont réels, avec b≠0b\ne0.
Les coefficients aa, bb et cc sont réels, avec a≠0a\ne0.
Les coefficients aa, bb et cc sont entiers, avec a≠0a\ne0.

Les coefficients $$a$$, $$b$$ et $$c$$ sont réels, avec $$a\ne0$$.

Explication

Les trois coefficients sont réels et le coefficient de x2x^2 doit être non nul. La condition porte sur aa, non sur bb ou cc ; un coefficient quadratique nul retire le terme de degré deux, et les coefficients ne sont pas nécessairement entiers.

3. Concernant la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré :

Le sommet de cette parabole a pour coordonnées S(α;β)S(\alpha;\beta).
Le sommet de cette parabole a pour coordonnées S(β;α)S(\beta;\alpha).
Cette courbe est une parabole dont le sommet est S(−α;β)S(-\alpha;\beta).
Cette courbe est une hyperbole dont le sommet est S(α;β)S(\alpha;\beta).
Cette courbe est une parabole dont le sommet est S(α;β)S(\alpha;\beta).

Le sommet de cette parabole a pour coordonnées $$S(\alpha;\beta)$$. · Cette courbe est une parabole dont le sommet est $$S(\alpha;\beta)$$.

Explication

La courbe d’un polynôme du second degré est une parabole, de sommet S(α;β)S(\alpha;\beta). Ses coordonnées ne sont pas inversées et l’abscisse du sommet est α\alpha, non −α-\alpha.

4. L’axe de symétrie de la parabole associée à f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c a pour équation :

L’axe a pour équation y=b2a=αy=\frac{b}{2a}=\alpha.
L’axe a pour équation x=b2a=αx=\frac{b}{2a}=\alpha.
L’axe a pour équation y=−b2a=αy=-\frac{b}{2a}=\alpha.
L’axe a pour équation x=−ba=αx=-\frac{b}{a}=\alpha.
L’axe a pour équation x=−b2a=αx=-\frac{b}{2a}=\alpha.

L’axe a pour équation $$x=-\frac{b}{2a}=\alpha$$.

Explication

L’axe de symétrie est vertical et son équation est x=α=−b2ax=\alpha=-\frac{b}{2a}. Une équation en yy ne décrit pas cet axe, et les expressions proposées avec un signe ou un facteur différent ne correspondent pas à α\alpha.

5. Lorsque a>0a>0, les variations de la fonction polynôme du second degré sont les suivantes :

La fonction atteint son maximum β\beta à l’abscisse α\alpha.
La fonction décroît jusqu’à x=βx=\beta, où elle atteint α\alpha, puis croît.
La fonction croît jusqu’à x=αx=\alpha, où elle atteint β\beta, puis décroît.
La fonction décroît jusqu’à x=αx=\alpha, où elle atteint β\beta, puis croît.
La fonction atteint son minimum β\beta à l’abscisse α\alpha.

La fonction décroît jusqu’à $$x=\alpha$$, où elle atteint $$\beta$$, puis croît. · La fonction atteint son minimum $$\beta$$ à l’abscisse $$\alpha$$.

Explication

Pour a>0a>0, la fonction décroît jusqu’au sommet, où son minimum β\beta est atteint en x=αx=\alpha, puis elle croît. Le sens inverse et le maximum correspondent au cas a<0a<0, tandis que l’abscisse et l’ordonnée du sommet ne s’intervertissent pas.

6. Pour une parabole associée à un trinôme dont le coefficient dominant vérifie a<0a<0 :

La fonction décroît jusqu’à x=βx=\beta, où elle atteint son minimum α\alpha, puis croît.
La fonction croît jusqu’à x=αx=\alpha, où elle atteint son maximum β\beta, puis décroît.
La fonction croît jusqu’à x=βx=\beta, où elle atteint son maximum α\alpha, puis décroît.
La fonction décroît jusqu’à x=αx=\alpha, où elle atteint son minimum β\beta, puis croît.
La fonction croît jusqu’à x=αx=\alpha, où elle atteint son minimum β\beta, puis décroît.

La fonction croît jusqu’à $$x=\alpha$$, où elle atteint son maximum $$\beta$$, puis décroît.

Explication

Lorsque a<0a<0, la fonction croît jusqu’à l’abscisse α\alpha du sommet, atteint le maximum β\beta, puis décroît. Le minimum et les variations inverses sont associés à a>0a>0 ; les coordonnées du sommet ne s’échangent pas.

7. Pour résoudre une équation du second degré, quelle démarche faut-il suivre ?

Choisir le cas selon le signe de aa, puis calculer le discriminant.
Calculer Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis choisir le cas selon le signe de Δ\Delta.
Calculer Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac, puis choisir le cas selon le signe de Δ\Delta.
Calculer d’abord le discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
Calculer Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis choisir le cas selon le signe de aa.

Calculer $$\Delta=b^2-4ac$$, puis choisir le cas selon le signe de $$\Delta$$. · Calculer d’abord le discriminant $$\Delta=b^2-4ac$$.

Explication

La démarche commence par le calcul de Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis on applique le cas correspondant à son signe. Le terme en 4ac4ac est soustrait, et c’est le signe du discriminant, non celui de aa, qui détermine le cas de résolution.

8. Si le discriminant d’une équation du second degré est négatif, quelles conclusions s’appliquent ?

L’équation ne possède aucune solution réelle lorsque Δ<0\Delta<0.
L’équation possède une solution réelle lorsque Δ<0\Delta<0.
L’équation possède une racine double lorsque Δ<0\Delta<0.
L’équation possède deux solutions réelles distinctes lorsque Δ<0\Delta<0.
L’équation ne possède aucune solution réelle lorsque Δ=0\Delta=0.

L’équation ne possède aucune solution réelle lorsque $$\Delta<0$$.

Explication

Un discriminant négatif implique l’absence de solution réelle. Une racine double correspond à Δ=0\Delta=0, tandis que deux solutions réelles distinctes correspondent à Δ>0\Delta>0 ; lorsque Δ=0\Delta=0, il existe bien une solution réelle.

9. Concernant une équation du second degré dont le discriminant est nul :

Elle n’admet aucune solution réelle.
Elle admet une unique solution, appelée racine double.
Sa solution unique est x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}.
Sa solution unique est x0=b2ax_0=\frac{b}{2a}.
Elle admet deux solutions réelles distinctes.

Elle admet une unique solution, appelée racine double. · Sa solution unique est $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Pour Δ=0\Delta=0, l’équation possède une unique solution, dite racine double, égale à −b2a-\frac{b}{2a}. Deux solutions distinctes caractérisent Δ>0\Delta>0, l’absence de solution réelle caractérise Δ<0\Delta<0, et la formule de la racine double comporte un signe négatif.

10. Lorsque Δ>0\Delta>0, les solutions de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 sont :

Les deux solutions réelles distinctes sont x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
La seconde expression comporte +Δ+\sqrt{\Delta} au numérateur.
La première expression comporte −Δ-\sqrt{\Delta} au numérateur.
Leur dénominateur commun est 2a2a dans les deux expressions.
Un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes.

Les deux solutions réelles distinctes sont $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$. · La seconde expression comporte $$+\sqrt{\Delta}$$ au numérateur. · La première expression comporte $$-\sqrt{\Delta}$$ au numérateur. · Leur dénominateur commun est $$2a$$ dans les deux expressions. · Un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes.

Explication

Pour Δ>0\Delta>0, les deux racines réelles distinctes s’obtiennent avec les signes moins et plus devant Δ\sqrt{\Delta}, et le dénominateur est 2a2a. Les propositions décrivent chacune une caractéristique de ces deux solutions.

11. Concernant la factorisation d’un trinôme lorsque Δ=0\Delta=0 :

Le trinôme s’écrit comme le produit de aa et du carré de x+b2ax+\frac{b}{2a}.
Lorsque Δ=0\Delta=0, le trinôme se factorise sous la forme a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) avec deux racines distinctes.
Le trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c devient a(x+b2a)2a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2.
Le trinôme s’écrit comme le produit de aa et du carré de x−b2ax-\frac{b}{2a}.
Le trinôme s’écrit comme le produit de aa et du carré de x+bax+\frac{b}{a}.

Le trinôme s’écrit comme le produit de $$a$$ et du carré de $$x+\frac{b}{2a}$$. · Le trinôme $$ax^2+bx+c$$ devient $$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, le trinôme se factorise sous la forme a(x+b2a)2a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2. Les trois formulations qui invoquent deux racines distinctes décrivent le cas Δ>0\Delta>0 et ne conviennent donc pas ici.

12. Si Δ>0\Delta>0 et si x1x_1 et x2x_2 sont les racines du trinôme, celui-ci se factorise sous la forme :

a(x−x1)(x+x2)a(x-x_1)(x+x_2).
a(x+x1)(x+x2)a(x+x_1)(x+x_2).
a(x−x1−x2)a(x-x_1-x_2).
a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2).
a(x+x1)(x−x2)a(x+x_1)(x-x_2).

$$a(x-x_1)(x-x_2)$$.

Explication

Pour deux racines distinctes, la factorisation est a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2). Les autres formes changent le signe associé à une racine ou ne comportent pas les deux facteurs requis.

13. Concernant un trinôme de discriminant nul, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Il s’annule en deux valeurs réelles distinctes.
Il s’annule en x0=−bax_0=-\frac{b}{a}.
Il s’annule en x0=b2ax_0=\frac{b}{2a}.
Lorsque Δ<0\Delta<0, le trinôme s’annule en x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}.
Il s’annule en x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}.

Il s’annule en $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, le trinôme s’annule en une seule valeur réelle, x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}. Il ne s’annule pas en deux valeurs distinctes, ni en −ba-\frac{b}{a}, ni en b2a\frac{b}{2a}. Lorsque Δ<0\Delta<0, il n’a pas de racine réelle.

14. Soit un trinôme de discriminant positif dont les racines vérifient x1<x2x_1<x_2. Son signe :

Est du signe de aa entre les racines x1x_1 et x2x_2.
Est du signe de aa lorsque x1<x<x2x_1<x<x_2.
Est celui de aa à l’extérieur de l’intervalle [x1,x2][x_1,x_2].
Est celui de aa lorsque x<x1x<x_1 ou x>x2x>x_2.
Est opposé à celui de aa lorsque x1<x<x2x_1<x<x_2.

Est celui de $$a$$ à l’extérieur de l’intervalle $$[x_1,x_2]$$. · Est celui de $$a$$ lorsque $$x<x_1$$ ou $$x>x_2$$. · Est opposé à celui de $$a$$ lorsque $$x_1<x<x_2$$.

Explication

Pour un trinôme de discriminant positif dont les racines vérifient x1<x2x_1<x_2, le signe est celui de aa à l’extérieur de l’intervalle [x1,x2][x_1,x_2] et lui est opposé entre les racines. Les propositions qui attribuent le signe de aa entre les racines sont donc incorrectes.

15. Quels réels peuvent être caractérisés par l’équation x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0 ?

Les solutions de cette équation ont pour somme SS et pour produit PP.
Pour 2x2−x−1=02x^2-x-1=0, sachant que 1 est une racine, l’autre racine est 12\frac12.
Deux réels dont la somme est SS et le produit PP en sont les solutions.
Deux réels dont la somme est PP et le produit SS en sont les solutions.
Pour 2x2−x−1=02x^2-x-1=0, sachant que 1 est une racine, l’autre racine est −1-1.

Les solutions de cette équation ont pour somme $$S$$ et pour produit $$P$$. · Deux réels dont la somme est $$S$$ et le produit $$P$$ en sont les solutions.

Explication

Les solutions de x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0 ont pour somme SS et pour produit PP ; réciproquement, deux réels de somme SS et de produit PP sont les solutions. Pour 2x2−x−1=02x^2-x-1=0, les racines sont 1 et −12-\frac12 : sachant que 1 est une racine, le produit permet de trouver l’autre.

16. Concernant l’abscisse du sommet d’un trinôme ayant deux racines réelles distinctes :

Elle correspond à la moyenne arithmétique des deux racines du trinôme.
Elle est égale au produit des deux racines divisé par deux.
Elle est égale à la somme des deux racines divisée par deux.
Elle se situe au milieu des abscisses des deux racines sur l’axe réel.
Elle correspond à la différence entre la racine la plus grande et la plus petite.

Elle correspond à la moyenne arithmétique des deux racines du trinôme. · Elle est égale à la somme des deux racines divisée par deux. · Elle se situe au milieu des abscisses des deux racines sur l’axe réel.

Explication

L’abscisse du sommet est la moyenne des deux racines, donc leur somme divisée par deux, et elle se trouve à mi-distance de leurs abscisses. La différence des racines et leur produit divisé par deux ne donnent pas cette abscisse.

17. Un trinôme admet deux racines x1x_1 et x2x_2. Quelle relation donne l’abscisse α\alpha de son sommet ?

L’abscisse du sommet vérifie α=x1+x22\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}.
L’abscisse du sommet est la moyenne arithmétique de x1x_1 et x2x_2.
L’abscisse du sommet est la somme des racines multipliée par deux.
L’abscisse du sommet est le milieu des abscisses des deux racines.
L’abscisse du sommet est la moitié du produit des deux racines.

L’abscisse du sommet vérifie $$\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$$. · L’abscisse du sommet est la moyenne arithmétique de $$x_1$$ et $$x_2$$. · L’abscisse du sommet est le milieu des abscisses des deux racines.

Explication

L’abscisse du sommet vaut la somme des deux racines divisée par deux ; elle est donc leur milieu et leur moyenne arithmétique. La moitié du produit et le double de la somme ne respectent pas cette relation.

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Comment s’écrit un trinôme du second degré défini sur ℝ ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R} et a≠0a\ne0.

Quelle est la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.

Comment exprimer α\alpha dans la forme canonique à partir de aa et bb ?

α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.

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