Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Trinôme et forme canonique
2. Parabole et variations
3. Résolution selon le discriminant
4. Factorisation du trinôme
5. Signe du trinôme
6. Somme et produit des racines
7. Racines et symétrie

📖 1. Trinôme et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Discriminant : Réel $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La forme canonique d’un trinôme est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}$.

📖 2. Parabole et variations

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$.

📐 Formule - L’axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=-\frac{b}{2a}=\alpha$.

• Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’à $x=\alpha$, où elle atteint son minimum $\beta$, puis croît.

• Si $a<0$, la fonction croît jusqu’à $x=\alpha$, où elle atteint son maximum $\beta$, puis décroît.

💡 Astuce mémo

Sommet minimum si a > 0, maximum si a < 0

📖 3. Résolution selon le discriminant

★ À maîtriser

• Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, on calcule d’abord $\Delta=b^2-4ac$, puis on applique le cas correspondant au signe de Δ.

• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune solution réelle.

• Si $\Delta=0$, l’équation admet une unique solution, appelée racine double, égale à $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $-2x^2+x+4=0$, le discriminant vaut 33 et les solutions sont $\frac{1+\sqrt{33}}4$ et $\frac{1-\sqrt{33}}4$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : une racine double ; Δ > 0 : deux racines

📖 4. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$ et si $x_1,x_2$ sont ses racines, le trinôme se factorise sous la forme $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle et n’est pas factorisable sur ℝ.

📖 5. Signe du trinôme

★ À maîtriser

• Si $\Delta<0$, le trinôme est toujours du signe de a.

• Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a et s’annule uniquement en $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta>0$ et $x_1<x_2$, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de $[x_1,x_2]$ et du signe opposé à a entre les deux racines.

Compléments

• Pour $f(x)=-2x^2+x+4$, on a $f(x)\ge0$ sur $\left[\frac{1-\sqrt{33}}4;\frac{1+\sqrt{33}}4\right]$ et $f(x)\le0$ à l’extérieur de cet intervalle.

💡 Astuce mémo

Entre deux racines : signe opposé à a ; à l’extérieur : signe de a

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque le trinôme admet deux racines, distinctes ou confondues, leur somme S et leur produit P vérifient $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📐 Formule - Deux réels de somme S et de produit P sont les solutions de $x^2-Sx+P=0$, et réciproquement les solutions de cette équation ont cette somme et ce produit.

Compléments

• L’équation $2x^2-x-1=0$ a pour racines 1 et $-\frac12$ ; sachant que 1 est une racine, le produit des racines permet de trouver l’autre.

📖 7. Racines et symétrie

📝 Points essentiels

📐 Formule - Lorsque le trinôme admet deux racines $x_1$ et $x_2$, l’abscisse du sommet vérifie $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$.