Fiche de révision : Espaces vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Combinaisons linéaires d’objets
2. Définition des espaces vectoriels
3. Sous-espaces vectoriels et espaces engendrés
4. Familles libres et liées
5. Familles génératrices et bases
6. Dimension finie
7. Dimension et bases en dimension finie
8. Sous-espaces et exemples de dimensions
9. Rang d’une famille de vecteurs
10. Calcul pratique du rang

📖 1. Combinaisons linéaires d’objets

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Somme $\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_nu_n$ où les coefficients $\lambda_i$ appartiennent au corps de base.

★ À maîtriser

• Les polynômes $1,X-a,(X-a)^2,\ldots,(X-a)^n$ engendrent l’espace $\mathbb{R}_n[X]$.

Compléments

• Toute suite complexe 3-périodique s’écrit de manière unique comme $x=x_0u+x_1v+x_2w$, où u, v et w indiquent respectivement les positions d’indice congrues à 0, 1 et 2 modulo 3.

📖 2. Définition des espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Un espace vectoriel sur K est un ensemble non vide E muni d’une addition et d’une multiplication par les scalaires de K, vérifiant les huit propriétés usuelles d’associativité, de commutativité, d’existence du vecteur nul et des opposés, de distributivité, de compatibilité et d’unité.

★ À maîtriser

• Les espaces vectoriels de référence sont :
  • K^n
  • K[X]
  • F(I,K)
  • K^N
  • M_{n,m}(K)

Compléments

• Dans le chapitre, K désigne R ou C et n désigne un entier naturel quelconque.

📌 Pour tout vecteur u d’un K-espace vectoriel, on a $(-1)u=-u$ et, pour tout scalaire λ, $\lambda u=0$ si et seulement si $\lambda=0$ ou $u=0$.

📖 3. Sous-espaces vectoriels et espaces engendrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Partie de E qui contient le vecteur nul et qui est stable par toute combinaison $\lambda x+\mu y$ de deux de ses vecteurs.
• Espace engendré : Plus petit sous-espace vectoriel contenant tous les vecteurs de F.

★ À maîtriser

📌 Pour montrer qu’une partie A est un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier que A est incluse dans E, qu’elle contient 0_E et que $\lambda x+\mu y\in A$ pour tous x,y dans A et tous λ,μ dans K.

Compléments

• Les ensembles K_n[X], C^0(I,K), D_n(I,K), C^n(I,K) et C^∞(I,K) sont des espaces vectoriels pour leurs opérations usuelles.

📌 L’espace engendré par une famille est inchangé si l’on permute les vecteurs, multiplie certains vecteurs par des scalaires non nuls, ou ajoute une combinaison linéaire des autres.

• L’intersection de deux sous-espaces vectoriels, et plus généralement l’intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels, est un sous-espace vectoriel.

💡 Astuce mémo

Stabilité par combinaison linéaire → sous-espace vectoriel

📖 4. Familles libres et liées

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Famille de vecteurs telle que la seule combinaison linéaire égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls ; sinon, elle est liée.

★ À maîtriser

• Une famille contenant le vecteur nul ou deux fois le même vecteur est liée.

📌 Une famille est libre si et seulement si aucune combinaison linéaire de ses vecteurs ne permet d’exprimer l’un d’eux à partir des autres.

• Une famille de polynômes non nuls dont les degrés sont deux à deux distincts est libre.

Compléments

📌 Une famille de deux vecteurs est liée si et seulement si ses deux vecteurs sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Libre : coefficients nuls seulement ; liée : relation non triviale

📖 5. Familles génératrices et bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille génératrice : Famille dont l’espace engendré est E.
• Base : Famille à la fois libre et génératrice de cet espace.

★ À maîtriser

📌 Dans une base, tout vecteur possède une unique écriture comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.

• La famille $\left(1,X,X^2,\ldots,X^n\right)$ est la base canonique de K_n[X].

Compléments

📐 Formule - Dans la base $\left(1,X-a,(X-a)^2,\ldots,(X-a)^n\right)$ de K_n[X], tout polynôme P vérifie $P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$.

💡 Astuce mémo

Libre pour l’unicité, génératrice pour l’existence

📖 6. Dimension finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension finie : Espace vectoriel qui possède une famille génératrice finie.
• Dimension : Cardinal commun de toutes ses bases, et elle vaut +∞ si l’espace n’est pas de dimension finie.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace vectoriel de dimension finie, toute famille génératrice contient une base et toute famille libre peut être complétée en une base.

• On a $\dim(K^n)=n$, $\dim(K_n[X])=n+1$ et $\dim(\{0\})=0$.

📌 Dans un espace de dimension n, une famille libre possède au plus n vecteurs et une famille génératrice possède au moins n vecteurs.

Compléments

📌 Dans un espace de dimension n, toute famille de n vecteurs qui est libre ou génératrice est automatiquement une base.

📖 7. Dimension et bases en dimension finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension d’un espace vectoriel : le cardinal de ses bases, noté dim E, et elle vaut +∞ si l’espace n’est pas de dimension finie

★ À maîtriser

• Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases ont le même cardinal.

📌 Dans un espace de dimension finie n, une famille de n vecteurs est une base dès qu’elle est libre ou dès qu’elle est génératrice.

Compléments

• La famille (1, 1−X, 2−4X+X², 6−18X+9X²−X³) est une base de R3[X] car ses polynômes sont de degrés deux à deux distincts et elle contient 4 vecteurs, égal à dim R3[X].

💡 Astuce mémo

Famille libre : au plus n ; famille génératrice : au moins n

📖 8. Sous-espaces et exemples de dimensions

★ À maîtriser

📌 Tout sous-espace vectoriel F d’un espace de dimension finie E est de dimension finie et vérifie dim F ≤ dim E.

📌 Si F est un sous-espace strict de E, alors dim F < dim E ; réciproquement, dim F = dim E entraîne F = E.

• L’espace K^n est de dimension n et sa base canonique est (e1,…,en), où chaque ei possède un 1 à la i-ème position et des 0 ailleurs.

• L’espace K^n[X] est de dimension n+1 et sa base canonique est (1,X,…,X^n).

• L’espace des solutions de y′′+by′+cy=0 est de dimension 2, avec une base déterminée par les racines de l’équation caractéristique $r^2+br+c=0$.

Compléments

• L’espace nul {0} est de dimension 0 et sa seule base est la famille vide.

• L’espace des solutions de y′+a(x)y=0 sur un intervalle I est de dimension 1 et une base est formée par la fonction x↦e^{-A(x)}, où A est une primitive de a.

• L’espace K[X] est de dimension infinie car il contient les sous-espaces K^n[X], dont les dimensions n+1 sont arbitrairement grandes.

💡 Astuce mémo

Sous-espace strict inclus → dimension strictement plus petite

📖 9. Rang d’une famille de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang d’une famille : la dimension de l’espace engendré Vect(u1,…,up), notée rg(F)
• Matrice d’une famille : Dans une base B, la matrice d’une famille (u1,…,up) est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées successives des vecteurs u1,…,up dans B.

📝 Points essentiels

📌 Une famille de vecteurs est libre si et seulement si son rang est égal à son cardinal.

• Le rang d’une famille est le cardinal de sa plus grande sous-famille libre.

📌 Dans un espace de dimension finie, le rang d’une famille est égal au rang de sa matrice dans n’importe quelle base.

💡 Astuce mémo

Rang = dimension de l’espace engendré

📖 10. Calcul pratique du rang

★ À maîtriser

• Pour calculer le rang sans matrice, on recherche d’abord les dépendances linéaires, puis on écarte les vecteurs exprimables comme combinaisons des autres et on recommence jusqu’à obtenir une famille libre.

• Le rang de la famille (X²+3X+2, X²+X, X²−1) est égal à 2, obtenu en réduisant le rang de sa matrice dans la base canonique de R2[X].

Compléments

• Pour la famille (f1,f2,f3,f4,f5) définie par f1(x)=cos x, f2(x)=cos²x, f3(x)=cos(2x), f4(x)=sin²x et f5(x)=1, les relations f4=f5−f2 et f3=2f2−f5 réduisent l’espace engendré à Vect(f1,f2,f5).

• La famille (f1,f2,f5) de l’exemple est libre, car une combinaison nulle donnerait un polynôme nul sur une infinité de valeurs et donc tous ses coefficients nuls.

💡 Astuce mémo

Dépendances → élimination → liberté → cardinal

📊 Tableaux de synthèse

Famille libre, génératrice et base

Familles et dimension