Fiche de révision : Séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Séries et sommes partielles
2. Convergence et divergence
3. Manipulations des séries
4. Séries complexes
5. Comparaison des séries positives
6. Convergence absolue
7. Séries classiques
8. Techniques de convergence
9. Séries de Riemann
10. Applications et estimations

📖 1. Séries et sommes partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Couple de suites $(u,S)$ tel que, pour tout entier $n\geq a$, $S_n=\sum_{k=a}^{n}u_k$, où $(u_n)$ est la suite des termes et $(S_n)$ la suite des sommes partielles.
• Série télescopique : Série dont les termes s’écrivent comme des différences successives, par exemple $\sum_{k=a}^{n}(v_k-v_{k-1})=v_n-v_{a-1}.$

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les termes d’une série se retrouvent à partir des sommes partielles par $u_n=S_n-S_{n-1}\quad(n>a),\qquad u_a=S_a.$

📖 2. Convergence et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Série convergente : Lorsque la suite de ses sommes partielles converge vers une limite finie, appelée somme de la série.

★ À maîtriser

📌 Si une série converge, alors son terme général tend vers zéro.

• La série harmonique $\sum_{n\geq1}\frac1n$ diverge bien que son terme général tende vers zéro.

Compléments

📌 Deux séries dont les termes sont égaux à partir d’un certain rang sont de même nature, car modifier ou supprimer un nombre fini de termes ne change pas la convergence.

💡 Astuce mémo

Terme général nul ≠ série convergente

📖 3. Manipulations des séries

★ À maîtriser

📌 Un changement d’indice conserve la nature et, en cas de convergence, la somme d’une série : $\sum_{n\geq a}u_n=\sum_{n\geq a-p}u_{n+p}.$

📐 Formule - Pour une série convergente, la relation de Chasles donne $\sum_{n=a}^{+\infty}u_n=\sum_{n=a}^{p}u_n+\sum_{n=p+1}^{+\infty}u_n.$

📌 Si deux séries convergent, toute combinaison linéaire converge et vérifie $\sum_{n=a}^{+\infty}(\lambda u_n+\mu v_n)=\lambda\sum_{n=a}^{+\infty}u_n+\mu\sum_{n=a}^{+\infty}v_n.$

Compléments

📌 Si deux séries réelles convergent et vérifient $u_n\leq v_n$ pour tout $n$, alors $\sum u_n\leq\sum v_n$, avec égalité seulement si $u_n=v_n$ pour tout $n$.

💡 Astuce mémo

Indice → Chasles → linéarité → croissance

📖 4. Séries complexes

📝 Points essentiels

📌 Une série complexe $\sum z_n$ converge si et seulement si les séries de ses parties réelle et imaginaire $\sum\Re(z_n)$ et $\sum\Im(z_n)$ convergent.

💡 Astuce mémo

Partie réelle et partie imaginaire : deux séries à contrôler

📖 5. Comparaison des séries positives

★ À maîtriser

📌 Pour deux séries à termes positifs telles que $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, la convergence de $\sum v_n$ entraîne celle de $\sum u_n$, tandis que la divergence de $\sum u_n$ entraîne celle de $\sum v_n$.

📌 Pour deux séries à termes positifs, si $u_n\sim v_n$, alors les deux séries sont de même nature.

Compléments

• Comme $1-\cos(1/n)\sim 1/(2n^2)$ et que $\sum 1/n^2$ converge, la série $\sum(1-\cos(1/n))$ converge.

💡 Astuce mémo

Majorant convergent → minorant convergent

📖 6. Convergence absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : Lorsque la série $\sum|u_n|$ converge.

★ À maîtriser

📌 Toute série absolument convergente est convergente.

• La série alternée $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}n$ converge sans être absolument convergente.

Compléments

📌 Une série absolument convergente garde la même somme après toute permutation de ses termes.

💡 Astuce mémo

Convergence absolue ⇒ convergence, mais l’inverse est faux

📖 7. Séries classiques

📝 Points essentiels

📐 Formule - La série géométrique $\sum_{n\geq a}q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et alors $\sum_{n=a}^{+\infty}q^n=\frac{q^a}{1-q}.$

📐 Formule - Pour $|q|<1$, les séries géométriques dérivées vérifient $\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}=\frac1{(1-q)^2}$ et $\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)q^{n-2}=\frac2{(1-q)^3}.$

📐 Formule - Pour tout nombre complexe $x$, la série exponentielle converge absolument et vérifie $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x.$

📖 8. Techniques de convergence

★ À maîtriser

• La comparaison série-intégrale permet d’étudier $\sum_{n\geq1}1/n^p$ en comparant ses termes à l’intégrale de $x^{-p}$ sur des intervalles successifs.

• Pour étudier une suite $(u_n)$ par une série ad hoc, on pose $v_a=u_a$ et $v_n=u_n-u_{n-1}$ pour $n>a$, puis $(u_n)$ devient la suite des sommes partielles de $\sum v_n.$

Compléments

📌 Si les séries extraites des termes pairs $\sum u_{2n}$ et impairs $\sum u_{2n+1}$ convergent, alors $\sum u_n$ converge et sa somme est la somme des deux séries extraites.

💡 Astuce mémo

Comparer, alterner, puis construire une série ad hoc

📖 9. Séries de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Série harmonique : La série $\sum_{n\geq1}\frac1n$, et elle diverge.
• Série de Riemann : Les séries $\sum_{n\geq1}1/n^p$, où $p$ est un réel, et elles convergent si et seulement si $p>1.$

📝 Points essentiels

• La série des inverses des carrés converge et sa somme vaut $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$ - Leonhard Euler, 1735

💡 Astuce mémo

Harmonique divergente, inverses des carrés convergents

📖 10. Applications et estimations

★ À maîtriser

• Pour $u_n=H_n-\ln n$, on obtient pour $n\geq2$ $u_n-u_{n-1}=\frac1n+\ln(1-1/n)\sim-\frac1{2n^2},$ donc la suite $(u_n)$ converge.

Compléments

• La série $\sum_{n\geq2}\frac1{n(n-1)}$ est télescopique, converge et vérifie $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac1{n(n-1)}=1.$

• La limite de la suite $H_n-\ln n$ est la constante d’Euler, notée $\gamma$, et approximativement égale à $0{,}5772156649.$

• Dans le modèle de l’escargot, il faut atteindre $H_n\geq100$, ce qui conduit avec l’approximation $H_n\simeq\ln n+\gamma$ à $n\geq e^{100-\gamma}\simeq1{,}5\times10^{43}$ jours.

💡 Astuce mémo

Différences sommables → suite convergente → estimation de l’escargot

📊 Tableaux de synthèse

Principales séries classiques