Séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Séries et sommes partielles
2. Convergence et divergence
3. Manipulations des séries
4. Séries complexes
5. Comparaison des séries positives
6. Convergence absolue
7. Séries classiques
8. Techniques de convergence
9. Séries de Riemann
10. Applications et estimations

📖 1. Séries et sommes partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Couple de suites $(u,S)$ tel que, pour tout entier $n\geq a$, $S_n=\sum_{k=a}^{n}u_k$, où $(u_n)$ est la suite des termes et $(S_n)$ la suite des sommes partielles.
• Série télescopique : Série dont les termes s’écrivent comme des différences successives, par exemple $\sum_{k=a}^{n}(v_k-v_{k-1})=v_n-v_{a-1}.$

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les termes d’une série se retrouvent à partir des sommes partielles par $u_n=S_n-S_{n-1}\quad(n>a),\qquad u_a=S_a.$

📖 2. Convergence et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Série convergente : Lorsque la suite de ses sommes partielles converge vers une limite finie, appelée somme de la série.

📌 Si une série converge, alors son terme général tend vers zéro.