QCM : Estimation et tests statistiques (31 questions)

Question 1

1. Quelle distinction caractérise le mieux la statistique descriptive et la statistique inférentielle ?

La statistique descriptive modélise une loi inconnue, tandis que l’inférentielle organise les données recueillies.

La statistique descriptive synthétise les données observées, tandis que l’inférentielle généralise au-delà de ces données.

La statistique descriptive estime une caractéristique inaccessible, tandis que l’inférentielle calcule des fréquences observées.

La statistique descriptive généralise une population, tandis que l’inférentielle présente les observations individuelles.

Explication

La statistique descriptive résume les observations disponibles, alors que la statistique inférentielle cherche à déduire des propriétés qui dépassent directement ces observations. Confondre l’inférence avec une simple présentation des données revient à négliger sa fonction de généralisation.

Answer

La statistique descriptive synthétise les données observées, tandis que l’inférentielle généralise au-delà de ces données.

Question 2

2. Dans une étude portant sur la tension artérielle de tous les habitants d’une ville, que représente un échantillon ?

Une caractéristique déterministe connue pour l’ensemble de la ville.

Une loi probabiliste décrivant la tension de chaque habitant.

Un ensemble d’observations partielles du phénomène étudié.

La totalité des valeurs possibles dans la population étudiée.

Explication

Un échantillon rassemble des observations partielles d’un phénomène dont la variable aléatoire globale reste en partie inaccessible. La population complète n’est pas assimilable à l’échantillon, car elle comprend le phénomène dans son ensemble.

Answer

Un ensemble d’observations partielles du phénomène étudié.

Question 3

3. Quelle différence oppose l’approche par sondages à l’approche par modèles ?

Les sondages portent sur une population finie, tandis que les modèles utilisent un univers abstrait muni d’une probabilité.

Les sondages étudient un univers abstrait, tandis que les modèles observent directement tous les individus d’une population.

Les sondages associent une probabilité aux observations, tandis que les modèles supposent une caractéristique déterministe.

Les sondages utilisent une loi inconnue, tandis que les modèles décrivent une population finie par une caractéristique fixe.

Explication

L’approche par sondages considère une population finie et une caractéristique déterministe, tandis que l’approche par modèles formalise un univers probabilisé dont la loi doit être modélisée. La seconde approche ne consiste donc pas à observer directement toute une population finie.

Answer

Les sondages portent sur une population finie, tandis que les modèles utilisent un univers abstrait muni d’une probabilité.

Question 4

4. Quelle propriété appartient à la définition d’une tribu sur un ensemble $E$ ?

Elle associe à chaque événement un nombre entre zéro et un dont la somme vaut un.

Elle contient chaque sous-ensemble de

E

et reste stable par différence entre deux ensembles.

Elle décrit les valeurs prises par une variable et reste stable par multiplication des événements.

Elle contient l’ensemble vide et reste stable par complémentaire et par réunion dénombrable.

Explication

Une tribu contient l’ensemble vide et est stable par complémentaire ainsi que par réunions finies ou dénombrables. La stabilité par différence n’est pas la formulation fondamentale demandée ici, même si certaines différences peuvent être obtenues à partir des opérations de tribu.

Answer

Elle contient l’ensemble vide et reste stable par complémentaire et par réunion dénombrable.

Question 5

5. Quelle condition caractérise une probabilité $Q$ définie sur une tribu $mathcal{T}$ d’un univers $E$ ?

Elle attribue la valeur zéro à chaque événement et la valeur un à toute réunion disjointe.

Elle exige que la probabilité d’une réunion disjointe soit le produit des probabilités individuelles.

Elle vérifie

Q(E)=1

et est additive pour toute réunion dénombrable d’événements disjoints.

Elle associe une valeur à chaque observation sans imposer de relation entre événements disjoints.

Explication

Une probabilité est normalisée par $Q(E)=1$ et vérifie l’additivité dénombrable pour les événements disjoints. Le produit des probabilités correspond à une propriété d’indépendance dans certains cas, pas à la définition générale d’une probabilité.

Answer

Elle vérifie $$Q(E)=1$$ et est additive pour toute réunion dénombrable d’événements disjoints.

Question 6

6. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire dans un espace probabilisé ?

Une probabilité attribuée à chaque valeur possible d’une expérience aléatoire.

Une application mesurable de l’univers vers un espace de résultats muni d’une tribu.

Une partie quelconque de l’univers dont la probabilité est définie par une mesure.

Une fonction constante qui associe la même réalisation à toutes les issues.

Explication

Une variable aléatoire est une application mesurable reliant les issues de l’univers probabilisé à un espace de résultats muni d’une tribu. Elle ne se réduit donc ni à un événement ni à une probabilité attribuée directement aux valeurs.

Answer

Une application mesurable de l’univers vers un espace de résultats muni d’une tribu.

Question 7

7. Que donne la loi $P_X$ d’une variable aléatoire $X$ pour un ensemble mesurable $A$ ?

Elle fournit la probabilité de chaque issue avant que l’expérience aléatoire soit réalisée.

Elle donne la probabilité

P_X(A)=P(X\in A)

que la réalisation appartienne à

A

.

Elle donne la valeur réalisée

X(\omega)

pour chaque issue

\omega

de l’univers.

Elle indique l’espérance de

X

lorsque la réalisation appartient à l’ensemble

A

.

Explication

La loi $P_X$ associe à chaque ensemble mesurable $A$ la probabilité que $X$ prenne une valeur dans cet ensemble. La quantité $X(\omega)$ est une réalisation dépendant de l’issue, tandis que la loi est une caractéristique probabiliste déterminée.

Answer

Elle donne la probabilité $$P_X(A)=P(X\in A)$$ que la réalisation appartienne à $$A$$.

Question 8

8. Comment calcule-t-on l’espérance selon le type de variable aléatoire ?

Pour les deux types, on utilise la moyenne empirique des réalisations obtenues dans l’échantillon.

Pour une variable discrète, on mesure la dispersion ; pour une variable continue, on mesure la probabilité cumulée.

Pour une variable discrète, on calcule une intégrale ; pour une variable continue, une somme des valeurs observées.

Pour une variable discrète, on effectue une somme pondérée ; pour une variable continue, une intégrale avec la densité.

Explication

L’espérance discrète est une somme des valeurs pondérées par leurs probabilités, tandis que l’espérance continue est une intégrale pondérée par la densité. La moyenne empirique concerne les réalisations observées et ne définit pas directement l’espérance théorique de la loi.

Answer

Pour une variable discrète, on effectue une somme pondérée ; pour une variable continue, une intégrale avec la densité.

Question 9

9. Une variable aléatoire vérifie $\mathbb{E}(X)=3$ et $\mathbb{E}(X^2)=13$ . Quelle est sa variance ?

13

10

4

9

Explication

En appliquant $\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2$ , on obtient $13-3^2=4$ . La valeur $9$ correspond au carré de l’espérance, qui intervient dans la formule mais ne représente pas à elle seule la variance.

Answer

$$F_X(x)=P(X\leq x)$$ pour tout réel $$x$$.

Answer

$$\mu$$ et $$\sigma^2$$

Answer

Pour tous ensembles mesurables $$A$$ et $$B$$, $$P(X_1\in A,X_2\in B)=P(X_1\in A)P(X_2\in B)$$

Answer

$$\mathcal{N}(\mu+\tilde\mu,\sigma^2+\tilde\sigma^2)$$

Answer

Pour tout $$\varepsilon>0$$, $$P(|Y_n-Y|>\varepsilon)\to0$$ quand $$n\to\infty$$

Answer

Pour toute fonction continue bornée $$\varphi$$, $$\mathbb{E}[\varphi(Y_n)]\to\mathbb{E}[\varphi(Y)]$$

Answer

Vers $$\mathbb{E}(X_1)$$

Answer

$$\sqrt n(\overline X-\mathbb{E}(X_1))\xrightarrow{L}\mathcal{N}(0,\operatorname{Var}(X_1))$$

Answer

Modéliser les données, poser une question, construire une règle, l’appliquer puis vérifier le modèle

Answer

Le paramètre $$t$$, tandis que les observations $$x_i$$ restent fixées

Answer

Dans un test simple, chaque hypothèse correspond à une loi précise, tandis que dans un test composite, chaque hypothèse regroupe une famille de lois.

Answer

Décider H0 lorsque $$q_0(x)>c q_1(x)$$, avec une constante c calibrée.

Answer

Une probabilité, calculée sous H0, d’obtenir un résultat au moins aussi extrême que celui observé.

Answer

Décider H1 si $$t' < \alpha$$ et ne pas rejeter H0 si $$t' \geq \alpha$$.

Answer

Lorsqu’il converge en probabilité vers θ quand la taille n de l’échantillon tend vers l’infini.

Answer

$$\mathbb{E}(\hat\theta)-\theta$$

Answer

$$\mathbb{E}[(\hat\theta-\theta)^2]$$

Answer

La première espèce consiste à rejeter H0 vraie, tandis que la deuxième consiste à ne pas rejeter H0 lorsque H1 est vraie.

Answer

L’effectif total vérifie $$n\geq 30$$ et chaque effectif attendu vérifie $$n\theta_{0j}\geq 5$$.

Answer

$$T=\sum_{j=1}^{k}\frac{(n_j-n\theta_{0j})^2}{n\theta_{0j}}$$, avec $$n_j$$ observé et $$n\theta_{0j}$$ attendu sous H0.

Answer

Sous H0, elle converge vers une loi $$\chi^2$$ à $$k-1$$ degrés de liberté, tandis que sous H1 elle tend vers l’infini en probabilité.

Answer

Lorsque $$P(\chi^2_{k-1}>t)<0{,}05$$.

Question 10

10. Quelle expression définit la fonction de répartition $F_X$ d’une variable aléatoire $X$ ?

F_X(x)=P(X=x)

pour tout réel

x

.

F_X(x)=P(X\geq x)

pour tout réel

x

.

F_X(x)=\mathbb{E}(X-x)^2

pour tout réel

x

.

F_X(x)=P(X\leq x)

pour tout réel

x

.

Explication

La fonction de répartition donne, pour chaque réel $x$ , la probabilité que $X$ soit inférieure ou égale à $x$ . La probabilité $P(X=x)$ ne suffit pas à définir une fonction de répartition, notamment pour une variable continue.

Question 11

11. Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , quelles sont respectivement l’espérance et la variance de $X$ ?

\sigma^2

et

\mu

\mu^2

et

\sigma

\mu

et

\sigma^2

\sigma

et

\mu^2

Explication

Dans cette paramétrisation gaussienne, le premier paramètre $\mu$ représente l’espérance et le second, $\sigma^2$ , représente la variance. L’inversion de ces rôles constitue une confusion fréquente entre les deux paramètres.

Question 12

12. Quelle propriété caractérise l’indépendance de deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ ?

La connaissance de

X_1

permet de déterminer la valeur de

X_2

Pour tous ensembles mesurables

A

et

B

,

P(X_1\in A,X_2\in B)=P(X_1\in A)+P(X_2\in B)

Les deux variables possèdent la même espérance et la même variance

Pour tous ensembles mesurables

A

et

B

,

P(X_1\in A,X_2\in B)=P(X_1\in A)P(X_2\in B)

Explication

L’indépendance signifie que la probabilité de l’intersection de deux événements se factorise en produit des probabilités marginales. Avoir les mêmes moments décrit une ressemblance numérique, tandis que déterminer une variable à partir de l’autre traduit une dépendance.

Question 13

13. Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $Y\sim\mathcal{N}(\tilde\mu,\tilde\sigma^2)$ sont indépendantes, quelle est la loi de $X+Y$ ?

\mathcal{N}(\mu\tilde\mu,\sigma\tilde\sigma)

\mathcal{N}(\mu-\tilde\mu,\sigma^2-\tilde\sigma^2)

\mathcal{N}(\mu+\tilde\mu,\sigma+\tilde\sigma)

\mathcal{N}(\mu+\tilde\mu,\sigma^2+\tilde\sigma^2)

Explication

La somme de deux variables gaussiennes indépendantes reste gaussienne, avec une moyenne égale à la somme des moyennes et une variance égale à la somme des variances. La simple addition des écarts types ne donne pas la variance de la somme.

Question 14

14. Quelle condition définit la convergence en probabilité de $Y_n$ vers $Y$ ?

La variance de

Y_n-Y

devient égale à zéro à chaque étape

Pour tout

\varepsilon>0

,

P(|Y_n-Y|>\varepsilon)\to0

quand

n\to\infty

La densité de

Y_n

devient égale à celle de

Y

pour un indice fini

Pour toute fonction continue bornée

\varphi

,

\mathbb{E}[\varphi(Y_n)]\to\mathbb{E}[\varphi(Y)]

Explication

La convergence en probabilité mesure la disparition de la probabilité d’un écart supérieur à un seuil fixé. La condition portant sur les fonctions continues bornées caractérise plutôt la convergence en loi.

Question 15

15. Quelle formulation caractérise la convergence en loi de $Y_n$ vers $Y$ ?

La probabilité

P(Y_n=Y)

tend vers un

La différence

Y_n-Y

est nulle pour tout indice suffisamment grand

Pour tout

\varepsilon>0

,

P(|Y_n-Y|>\varepsilon)\to0

Pour toute fonction continue bornée

\varphi

,

\mathbb{E}[\varphi(Y_n)]\to\mathbb{E}[\varphi(Y)]

Explication

La convergence en loi est définie par la convergence des espérances de toutes les fonctions continues et bornées appliquées aux variables. La condition fondée sur la probabilité d’un écart concerne la convergence en probabilité et est plus forte.

Question 16

16. Pour des variables iid dont $\mathbb{E}(|X_1|)$ existe, vers quelle quantité converge en probabilité la moyenne empirique $\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ ?

Vers

\mathbb{E}(X_1)

Vers

\operatorname{Var}(X_1)

Vers la médiane de

X_1

Vers

\mathbb{E}(X_1^2)

Explication

La loi des grands nombres indique que la moyenne empirique converge en probabilité vers l’espérance commune des variables iid. La variance, le second moment et la médiane sont des caractéristiques différentes de la loi.

Question 17

17. Sous l’existence de $\mathbb{E}(X_1^2)$ , quelle limite en loi décrit le théorème central limite pour une moyenne empirique iid ?

n(\overline X-\mathbb{E}(X_1))\xrightarrow{P}\mathcal{N}(0,\operatorname{Var}(X_1))

\overline X\xrightarrow{L}\mathcal{N}(\mathbb{E}(X_1),\operatorname{Var}(X_1))

\sqrt n(\overline X-\mathbb{E}(X_1))\xrightarrow{L}\mathcal{N}(0,\operatorname{Var}(X_1))

\sqrt n(\overline X-\operatorname{Var}(X_1))\xrightarrow{L}\mathcal{N}(0,\mathbb{E}(X_1))

Explication

Le théorème central limite centre la moyenne par l’espérance et la multiplie par $\sqrt n$ , ce qui produit une convergence en loi vers une gaussienne de variance $\operatorname{Var}(X_1)$ . La moyenne non centrée ne converge pas vers cette loi normale avec cette normalisation.

Question 18

18. Quelle séquence décrit correctement une démarche inférentielle ?

Calculer une moyenne, choisir un modèle, ignorer les données atypiques puis conclure

Choisir une loi connue, simuler des données, remplacer les observations puis comparer les moyennes

Modéliser les données, poser une question, construire une règle, l’appliquer puis vérifier le modèle

Observer les données, fixer le paramètre, appliquer une règle arbitraire puis supprimer le modèle

Explication

L’inférence part d’un modèle des données, formule une question sur leur loi, construit une règle théorique, l’applique et vérifie autant que possible l’adéquation du modèle. Les autres démarches omettent ou inversent des étapes essentielles.

Question 19

19. Dans la vraisemblance $L(t)=\prod_{i=1}^n f_t(x_i)$ , quelle quantité varie lorsque l’on recherche le maximum ?

Les observations et le paramètre varient selon la même règle

La taille

n

de l’échantillon varie avec chaque valeur de

t

Le paramètre

t

, tandis que les observations

x_i

restent fixées

Les observations

x_i

, tandis que le paramètre

t

reste fixé

Explication

La vraisemblance considère les données observées comme fixées et évalue leur plausibilité pour différentes valeurs du paramètre. Faire varier les observations confondrait l’estimation paramétrique avec une nouvelle collecte de données.

Question 20

20. Quelle distinction caractérise un test simple par rapport à un test composite ?

Dans un test simple, chaque hypothèse correspond à une loi précise, tandis que dans un test composite, chaque hypothèse regroupe une famille de lois.

Dans un test simple, chaque hypothèse regroupe une famille de lois, tandis que dans un test composite, chaque hypothèse correspond à une loi précise.

Dans un test simple, les hypothèses sont fixées après observation, tandis que dans un test composite, elles sont fixées avant l’échantillonnage.

Dans un test simple, les hypothèses portent sur des échantillons, tandis que dans un test composite, elles portent sur des estimateurs.

Explication

Un test simple oppose deux lois précises, alors qu’un test composite oppose deux familles de probabilités. La confusion vient de l’inversion des définitions entre les deux types de tests.

Question 21

21. Dans le cas continu, quelle règle de Neyman-Pearson conduit à décider H0 pour une observation x ?

Décider H0 lorsque

q_0(x)>c q_1(x)

, avec une constante c calibrée.

Décider H0 lorsque

q_0(x)+q_1(x)>c

, avec une constante c calibrée.

Décider H0 lorsque

q_1(x)>c q_0(x)

, avec une constante c calibrée.

Décider H0 lorsque

q_0(x)-q_1(x)>c

, avec une constante c calibrée.

Explication

La règle de Neyman-Pearson compare la densité sous H0 à une constante multipliée par celle sous H1, et décide H0 si $q_0(x)>c q_1(x)$ . Comparer les densités dans l’ordre inverse ou par leur somme ne correspond pas à cette règle.

Question 22

22. Que représente une p-valeur dans un test statistique ?

La probabilité que H0 soit vraie après avoir observé les données du test.

La proportion d’observations de l’échantillon qui respectent l’hypothèse H0.

Une probabilité, calculée sous H0, d’obtenir un résultat au moins aussi extrême que celui observé.

La probabilité, calculée sous H1, d’obtenir exactement la statistique observée.

Explication

La p-valeur mesure, sous H0, la probabilité d’un résultat au moins aussi extrême que celui qui a été observé. Elle ne donne pas la probabilité que H0 soit vraie, car cette dernière nécessiterait une interprétation probabiliste différente des hypothèses.

Question 23

23. Avec une p-valeur t′ et un niveau α, quelle décision applique la règle donnée ?

Décider H1 si

t' < \alpha

et ne pas rejeter H0 si

t' \geq \alpha

.

Décider H1 si

t' > \alpha

et ne pas rejeter H0 si

t' \leq \alpha

.

Décider H0 si

t' < \alpha

et rejeter H1 si

t' \geq \alpha

.

Décider H1 si

t' = \alpha

et ne pas rejeter H0 lorsque

t' \neq \alpha

.

Explication

La règle compare directement la p-valeur au niveau α : une p-valeur inférieure à α conduit à décider H1, tandis qu’une p-valeur supérieure ou égale conduit à ne pas rejeter H0. Le sens de l’inégalité est donc inversé dans la deuxième proposition.

Question 24

24. Dans quel cas un estimateur $\hat\theta$ est-il consistant pour θ ?

Lorsqu’il minimise le risque quadratique pour une taille d’échantillon fixée.

Lorsqu’il converge en probabilité vers θ quand la taille n de l’échantillon tend vers l’infini.

Lorsqu’il prend exactement la valeur θ pour chaque échantillon observé.

Lorsqu’il possède un biais nul pour toute taille finie de l’échantillon.

Explication

La consistance est définie par la convergence en probabilité $\hat\theta\xrightarrow{P}\theta$ lorsque n augmente. Un biais nul à taille fixée est une propriété différente et ne suffit pas à caractériser la consistance.

Question 25

25. Quelle expression définit le biais d’un estimateur $\hat\theta$ de θ ?

\mathbb{P}(\hat\theta=\theta)

\mathbb{E}(\hat\theta)-\theta

\mathbb{E}(|\hat\theta-\theta|)

\mathbb{E}[(\hat\theta-\theta)^2]

Explication

Le biais est l’écart entre l’espérance de l’estimateur et la valeur du paramètre, soit $\mathbb{E}(\hat\theta)-\theta$ . L’expression quadratique correspond au risque quadratique, tandis que les deux autres quantités mesurent d’autres aspects de l’estimation.

Question 26

26. Quelle quantité mesure le risque quadratique d’un estimateur $\hat\theta$ de θ ?

\mathbb{P}(\hat\theta\neq\theta)

\mathbb{E}(\hat\theta)-\theta

|\mathbb{E}(\hat\theta)-\theta|

\mathbb{E}[(\hat\theta-\theta)^2]

Explication

Le risque quadratique est l’espérance du carré de l’erreur d’estimation, $\mathbb{E}[(\hat\theta-\theta)^2]$ . Le biais correspond à l’erreur moyenne systématique et ne prend pas en compte la dispersion de la même manière.

Question 27

27. Laquelle décrit correctement les erreurs de première et de deuxième espèce dans un test ?

La première espèce consiste à ne pas rejeter H0 vraie, tandis que la deuxième consiste à rejeter H0 lorsque H1 est vraie.

La première espèce consiste à rejeter H1 vraie, tandis que la deuxième consiste à accepter H1 lorsque H0 est vraie.

La première espèce consiste à choisir H0 lorsque H1 est vraie, tandis que la deuxième consiste à choisir H1 lorsque H0 est vraie.

La première espèce consiste à rejeter H0 vraie, tandis que la deuxième consiste à ne pas rejeter H0 lorsque H1 est vraie.

Explication

L’erreur de première espèce est le rejet à tort de H0, alors que l’erreur de deuxième espèce est l’absence de rejet de H0 lorsque H1 est vraie. Les autres propositions inversent ces situations ou décrivent des événements qui ne correspondent pas aux définitions usuelles.

Question 28

28. Quelles conditions d’effectif permettent d’appliquer le test du Chi-deux dans ce cadre ?

L’effectif total vérifie

n\geq 5

et chaque effectif observé vérifie

n_j\geq 30

.

Chaque probabilité théorique vérifie

\theta_{0j}\geq 30

et l’effectif total vérifie

n\geq 5

.

L’effectif total vérifie

n\geq 30

et chaque effectif attendu vérifie

n\theta_{0j}\geq 5

.

Chaque effectif observé vérifie

n_j\geq 30

et l’effectif total vérifie

n\theta_{0j}\geq 5

.

Explication

Les conditions portent sur l’effectif total, qui doit être au moins égal à 30, et sur chaque effectif attendu, qui doit être au moins égal à 5. Elles ne demandent pas que chaque effectif observé atteigne 30.

Question 29

29. Dans la statistique du test du Chi-deux, quelle expression utilise les effectifs observés et attendus ?

T=\sum_{j=1}^{k}\frac{(n_j-n\theta_{0j})^2}{n_j}

, avec

n_j

attendu et

n\theta_{0j}

observé sous H0.

T=\sum_{j=1}^{k}\frac{(n_j-n\theta_{0j})^2}{n\theta_{0j}}

, avec

n_j

observé et

n\theta_{0j}

attendu sous H0.

T=\sum_{j=1}^{k}\frac{n_j+n\theta_{0j}}{(n_j-n\theta_{0j})^2}

, avec les deux effectifs observés.

T=\sum_{j=1}^{k}\frac{n_j-n\theta_{0j}}{n\theta_{0j}}

, avec les deux effectifs calculés sous H0.

Explication

La statistique additionne, pour chaque catégorie, le carré de l’écart entre l’effectif observé et l’effectif attendu, divisé par l’effectif attendu. L’effectif $n_j$ provient des données, tandis que $n\theta_{0j}$ est calculé à partir de H0.

Question 30

30. Comment se comporte la statistique du Chi-deux lorsque n augmente sous H0 et sous H1 ?

Sous H0, elle converge vers une loi normale, tandis que sous H1 elle converge vers une loi uniforme.

Sous H0, elle converge vers une loi

\chi^2

à

k

degrés de liberté, tandis que sous H1 elle tend vers zéro en probabilité.

Sous H0, elle tend vers l’infini en probabilité, tandis que sous H1 elle converge vers une loi

\chi^2

à

k-1

degrés de liberté.

Sous H0, elle converge vers une loi

\chi^2

à

k-1

degrés de liberté, tandis que sous H1 elle tend vers l’infini en probabilité.

Explication

Sous H0, la statistique possède asymptotiquement une loi du Chi-deux à $k-1$ degrés de liberté, alors que sous H1 elle diverge vers l’infini en probabilité. Le nombre de degrés de liberté est donc $k-1$ , et non $k$ .

Question 31

31. Pour un test du Chi-deux de niveau 5 %, dans quelle situation rejette-t-on H0 ?

Lorsque

P(\chi^2_{k}>t)=0{,}05

.

Lorsque

P(\chi^2_{k-1}<t)<0{,}05

.

Lorsque

P(\chi^2_{k-1}>t)<0{,}05

.

Lorsque

P(\chi^2_{k-1}>t)>0{,}05

.

Explication

Au niveau de 5 %, le rejet de H0 intervient lorsque la probabilité de queue droite au-delà de la statistique observée est inférieure à 0,05. Cette probabilité utilise une loi du Chi-deux à $k-1$ degrés de liberté, et non une probabilité de queue gauche.

QCM : Estimation et tests statistiques (31 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle distinction caractérise le mieux la statistique descriptive et la statistique inférentielle ?

2. Dans une étude portant sur la tension artérielle de tous les habitants d’une ville, que représente un échantillon ?

3. Quelle différence oppose l’approche par sondages à l’approche par modèles ?

4. Quelle propriété appartient à la définition d’une tribu sur un ensemble EEE ?

5. Quelle condition caractérise une probabilité QQQ définie sur une tribu mathcalTmathcal{T}mathcalT d’un univers EEE ?

6. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire dans un espace probabilisé ?

7. Que donne la loi PXP_XPX​ d’une variable aléatoire XXX pour un ensemble mesurable AAA ?

8. Comment calcule-t-on l’espérance selon le type de variable aléatoire ?

9. Une variable aléatoire vérifie E(X)=3\mathbb{E}(X)=3E(X)=3 et E(X2)=13\mathbb{E}(X^2)=13E(X2)=13. Quelle est sa variance ?

10. Quelle expression définit la fonction de répartition FXF_XFX​ d’une variable aléatoire XXX ?

11. Si X∼N(μ,σ2)X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2), quelles sont respectivement l’espérance et la variance de XXX ?

12. Quelle propriété caractérise l’indépendance de deux variables aléatoires X1X_1X1​ et X2X_2X2​ ?

13. Si X∼N(μ,σ2)X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2) et Y∼N(μ~,σ~2)Y\sim\mathcal{N}(\tilde\mu,\tilde\sigma^2)Y∼N(μ~​,σ~2) sont indépendantes, quelle est la loi de X+YX+YX+Y ?

14. Quelle condition définit la convergence en probabilité de YnY_nYn​ vers YYY ?

15. Quelle formulation caractérise la convergence en loi de YnY_nYn​ vers YYY ?

16. Pour des variables iid dont E(∣X1∣)\mathbb{E}(|X_1|)E(∣X1​∣) existe, vers quelle quantité converge en probabilité la moyenne empirique X‾=1n∑i=1nXi\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_iX=n1​∑i=1n​Xi​ ?

17. Sous l’existence de E(X12)\mathbb{E}(X_1^2)E(X12​), quelle limite en loi décrit le théorème central limite pour une moyenne empirique iid ?

18. Quelle séquence décrit correctement une démarche inférentielle ?

19. Dans la vraisemblance L(t)=∏i=1nft(xi)L(t)=\prod_{i=1}^n f_t(x_i)L(t)=∏i=1n​ft​(xi​), quelle quantité varie lorsque l’on recherche le maximum ?

20. Quelle distinction caractérise un test simple par rapport à un test composite ?

21. Dans le cas continu, quelle règle de Neyman-Pearson conduit à décider H0 pour une observation x ?

22. Que représente une p-valeur dans un test statistique ?

23. Avec une p-valeur t′ et un niveau α, quelle décision applique la règle donnée ?

24. Dans quel cas un estimateur θ^\hat\thetaθ^ est-il consistant pour θ ?

25. Quelle expression définit le biais d’un estimateur θ^\hat\thetaθ^ de θ ?

26. Quelle quantité mesure le risque quadratique d’un estimateur θ^\hat\thetaθ^ de θ ?

27. Laquelle décrit correctement les erreurs de première et de deuxième espèce dans un test ?

28. Quelles conditions d’effectif permettent d’appliquer le test du Chi-deux dans ce cadre ?

29. Dans la statistique du test du Chi-deux, quelle expression utilise les effectifs observés et attendus ?

30. Comment se comporte la statistique du Chi-deux lorsque n augmente sous H0 et sous H1 ?

31. Pour un test du Chi-deux de niveau 5 %, dans quelle situation rejette-t-on H0 ?

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4. Quelle propriété appartient à la définition d’une tribu sur un ensemble $E$ ?

5. Quelle condition caractérise une probabilité $Q$ définie sur une tribu $mathcal{T}$ d’un univers $E$ ?

7. Que donne la loi $P_X$ d’une variable aléatoire $X$ pour un ensemble mesurable $A$ ?

9. Une variable aléatoire vérifie $\mathbb{E}(X)=3$ et $\mathbb{E}(X^2)=13$ . Quelle est sa variance ?

10. Quelle expression définit la fonction de répartition $F_X$ d’une variable aléatoire $X$ ?

11. Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , quelles sont respectivement l’espérance et la variance de $X$ ?

12. Quelle propriété caractérise l’indépendance de deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ ?

13. Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $Y\sim\mathcal{N}(\tilde\mu,\tilde\sigma^2)$ sont indépendantes, quelle est la loi de $X+Y$ ?

14. Quelle condition définit la convergence en probabilité de $Y_n$ vers $Y$ ?

15. Quelle formulation caractérise la convergence en loi de $Y_n$ vers $Y$ ?

16. Pour des variables iid dont $\mathbb{E}(|X_1|)$ existe, vers quelle quantité converge en probabilité la moyenne empirique $\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ ?

17. Sous l’existence de $\mathbb{E}(X_1^2)$ , quelle limite en loi décrit le théorème central limite pour une moyenne empirique iid ?

19. Dans la vraisemblance $L(t)=\prod_{i=1}^n f_t(x_i)$ , quelle quantité varie lorsque l’on recherche le maximum ?

24. Dans quel cas un estimateur $\hat\theta$ est-il consistant pour θ ?

25. Quelle expression définit le biais d’un estimateur $\hat\theta$ de θ ?

26. Quelle quantité mesure le risque quadratique d’un estimateur $\hat\theta$ de θ ?