QCM : Études de fonctions (21 questions)

Question 1

1. Quel phénomène biologique peut être modélisé par une fonction reliant deux grandeurs ?

La croissance d’une plante en fonction du temps

La forme d’une cellule en fonction de sa couleur

La composition d’un organe en fonction de sa position

La classification d’une espèce en fonction de son nom

Explication

Une fonction peut représenter l’évolution de la croissance d’une plante au cours du temps. La classification d’une espèce selon son nom ne correspond pas à l’un des exemples de phénomènes décrits.

Answer

La croissance d’une plante en fonction du temps

Question 2

2. À quoi peut servir l’étude d’une fonction qui modélise une relation entre grandeurs ?

À établir une relation de cause à effet pour toute paire de grandeurs

À déterminer la nature des grandeurs sans étudier leur évolution

À remplacer les mesures par une description sans lien avec le phénomène

À expliquer, anticiper et exploiter le phénomène étudié

Explication

L’étude du modèle fonctionnel aide à expliquer le phénomène, à anticiper son évolution et à en exploiter les résultats. Un modèle ne permet pas de conclure automatiquement à une relation de cause à effet pour toutes les grandeurs.

Answer

À expliquer, anticiper et exploiter le phénomène étudié

Question 3

3. Quelle condition caractérise une fonction croissante sur un intervalle $I$ ?

Pour

a < b

dans

I

, on a toujours

f(a) < f(b)

Pour

a \leq b

dans

I

, on a

f(a) \geq f(b)

Pour deux éléments de

I

, leurs images sont égales

Pour

a \leq b

dans

I

, on a

f(a) \leq f(b)

Explication

Une fonction croissante conserve l’ordre au sens large : si $a \leq b$ , alors $f(a) \leq f(b)$ . L’inégalité stricte correspond à une condition plus forte, celle d’une fonction strictement croissante.

Answer

Pour $$a \leq b$$ dans $$I$$, on a $$f(a) \leq f(b)$$

Question 4

4. Sur un intervalle $I$ , une fonction $f$ est décroissante lorsque quelle relation est vérifiée pour tous $a \leq b$ dans $I$ ?

f(a) = f(b)

f(a) \leq f(b)

f(a) \geq f(b)

f(a) > f(b)

Explication

Pour une fonction décroissante, l’ordre des valeurs de la fonction évolue en sens inverse de celui des arguments, d’où $f(a) \geq f(b)$ . L’inégalité stricte décrit une décroissance stricte et ne constitue pas la condition générale demandée.

Answer

$$f(a) \geq f(b)$$

Question 5

5. Pour la fonction affine $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$ , que peut-on conclure si $a<0$ ?

La fonction est strictement croissante

La fonction est croissante sur les nombres positifs et décroissante sur les négatifs

La fonction est strictement décroissante

La fonction est constante sur son domaine

Explication

Pour une fonction affine de coefficient directeur négatif, les valeurs de la fonction diminuent strictement quand $x$ augmente. Un coefficient directeur positif donnerait au contraire une fonction strictement croissante.

Answer

La fonction est strictement décroissante

Question 6

6. Comment varie la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur son domaine $\mathbb{R}^*$ ?

Elle est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles

\mathbb{R}^-_*

et

\mathbb{R}^+_*

, mais pas sur leur réunion

Elle est strictement décroissante sur tout

\mathbb{R}^*

, car elle l’est sur ses deux parties

Elle est strictement croissante sur chacun des deux intervalles

\mathbb{R}^-_*

et

\mathbb{R}^+_*

, et sur leur réunion

Elle est constante sur les nombres négatifs et strictement décroissante sur les nombres positifs

Explication

La fonction inverse est strictement décroissante séparément sur les réels strictement négatifs et strictement positifs. Cette propriété ne s’étend pas à leur réunion, car comparer des arguments situés de part et d’autre de zéro ne respecte pas la même relation d’ordre entre leurs images.

Answer

Elle est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles $$\mathbb{R}^-_*$$ et $$\mathbb{R}^+_*$$, mais pas sur leur réunion

Question 7

7. Pour étudier les variations d’une fonction sur un intervalle $I$ , quelle démarche faut-il suivre ?

Regrouper tous les points de

I

où la fonction prend la même valeur

Découper

I

en intervalles disjoints sur chacun desquels la fonction est monotone

Repérer les valeurs extrêmes sans examiner les variations sur des sous-intervalles

Découper

I

en intervalles qui se chevauchent et où la fonction est définie

Explication

L’étude consiste à partager l’intervalle en morceaux ne se chevauchant pas, sur chacun desquels la fonction est monotone. Des intervalles qui se chevauchent ne réalisent pas le découpage demandé.

Answer

Découper $$I$$ en intervalles disjoints sur chacun desquels la fonction est monotone

Question 8

8. Quelle condition signifie que $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ ?

Pour tout

x \in I

,

f(x) \leq a

, et la valeur maximale est

a

Pour tout

x \in I

,

f(x) \leq f(a)

, et la valeur maximale est

f(a)

Il existe un

x \in I

tel que

f(x) > f(a)

, et la valeur maximale est

f(x)

Pour tout

x \in I

,

f(x) \geq f(a)

, et la valeur maximale est

f(a)

Explication

Un maximum en $a$ signifie que l’image $f(a)$ est supérieure ou égale à toutes les valeurs de la fonction sur $I$ . La condition $f(x) \geq f(a)$ décrit plutôt un minimum en $a$ .

Answer

Pour tout $$x \in I$$, $$f(x) \leq f(a)$$, et la valeur maximale est $$f(a)$$

Question 9

9. Si $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ , quelle affirmation est correcte ?

Pour tout

x \in I

,

f(x) \geq f(a)

, et le minimum vaut

f(a)

Pour tout

x \in I

,

f(x) \geq a

, et le minimum vaut

a

Il existe un

x \in I

tel que

f(x) < f(a)

, et le minimum vaut

f(x)

Pour tout

x \in I

,

f(x) \leq f(a)

, et le minimum vaut

f(a)

Explication

Pour un minimum atteint en $a$ , toutes les images sur l’intervalle sont supérieures ou égales à $f(a)$ , qui est la valeur minimale. L’inégalité dans le sens opposé caractériserait un maximum.

Answer

Pour tout $$x \in I$$, $$f(x) \geq f(a)$$, et le minimum vaut $$f(a)$$

Question 10

10. Comment caractérise-t-on la dérivabilité de f en a à l’aide d’un taux d’accroissement ?

La limite de

\frac{f(h)-f(a)}{h-a}

lorsque

h

tend vers zéro existe et vaut $$f'(a)$.

La limite de

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

lorsque

h

tend vers zéro existe et vaut

f'(a)

.

La limite de

\frac{f(a+h)-f(a)}{a}

lorsque

h

tend vers zéro existe et vaut $$f'(a)$.

La limite de

\frac{f(a+h)+f(a)}{h}

lorsque

h

tend vers zéro existe et vaut $$f'(a)$.

Explication

La dérivée en a est la limite du taux d’accroissement entre a et a+h lorsque h tend vers zéro. Remplacer le dénominateur h par a ne mesure pas ce taux d’accroissement.

Answer

La limite de $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ lorsque $$h$$ tend vers zéro existe et vaut $$f'(a)$$.

Question 11

11. Une fonction dérivable vérifie $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$ . Quelle équation décrit la tangente à sa courbe au point d’abscisse 2 ?

y=-3(x-2)+5

y=-3(x+2)+5

y=3(x-2)+5

y=5(x-2)-3

Explication

La tangente en a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ , ce qui donne ici $y=-3(x-2)+5$ . Intervertir la valeur de la fonction et celle de sa dérivée change à la fois la pente et le point de contact.

Answer

$$y=-3(x-2)+5$$

Question 12

12. Pour dériver $x^6$ , quelle expression obtient-on ?

x^5

5x^6

6x^7

6x^5

Explication

La règle de dérivation des puissances donne $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ , donc la dérivée de $x^6$ est $6x^5$ . Le coefficient et l’exposant doivent tous deux être ajustés selon cette règle.

Answer

$$2x(x+1)+x^2$$

Answer

f est croissante sur I.

Answer

Elle est décroissante sur I.

Answer

Étudier le signe de la dérivée, puis en déduire les intervalles de variation.

Answer

$$\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$$

Answer

$$\lim_{h\to0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$$

Answer

Un axe est linéaire et l’autre logarithmique, ce qui aide à représenter des phénomènes exponentiels ou plusieurs ordres de grandeur.

Answer

Un repère log-log, où les deux axes suivent une échelle logarithmique.

Question 13

13. Pour $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+1$ , quelle expression donne la dérivée de $u(x)v(x)$ ?

2x(x+1)+x^2

\frac{2x+x^2}{x+1}

2x(x+1)-x^2

\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}

Explication

La dérivée d’un produit est $u'v+uv'$ ; ici, cela donne $2x(x+1)+x^2$ . La formule avec un numérateur soustractif et un dénominateur au carré est celle d’un quotient, pas d’un produit.

Question 14

14. Une fonction f est continue et dérivable sur un intervalle I, et sa dérivée y est non négative. Que peut-on conclure ?

f est croissante sur I.

f change de sens de variation sur I.

f est constante sur I.

f est décroissante sur I.

Explication

Pour une fonction continue et dérivable sur un intervalle, la condition $f'(x)\geq 0$ sur tout l’intervalle équivaut à sa croissance. Une dérivée non négative n’implique pas que la fonction soit constante.

Question 15

15. Sur un intervalle I, une fonction continue et dérivable vérifie $f'(x)\leq 0$ en tout point. Quel est son sens de variation ?

Elle est décroissante sur I.

Elle est croissante sur I.

Elle alterne entre croissance et décroissance sur I.

Elle est constante sur I.

Explication

Une dérivée non positive sur I caractérise une fonction décroissante sur cet intervalle, sous les hypothèses de continuité et de dérivabilité. Une dérivée négative ou nulle ne signifie pas que la fonction est nécessairement constante.

Question 16

16. Pour établir les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction à partir de sa dérivée, quelle démarche faut-il suivre ?

Étudier le signe de la dérivée, puis en déduire les intervalles de variation.

Étudier le signe de la fonction, puis en déduire celui de sa dérivée.

Calculer les valeurs de la fonction, puis comparer uniquement ses extrémités.

Repérer les zéros de la fonction, puis les prendre comme changements de variation.

Explication

On détermine d’abord le signe de $f'$ , qui permet ensuite d’identifier les intervalles où f croît ou décroît. Les zéros de f ne donnent pas, à eux seuls, le sens de variation.

Question 17

17. Quelle limite décrit le comportement de $\exp(x)$ lorsque x tend vers $-\infty$ ?

\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0

\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=-\infty

\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=+\infty

\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=1

Explication

L’exponentielle tend vers zéro lorsque son argument tend vers $-\infty$ . Elle tend vers $+\infty$ lorsque son argument tend vers $+\infty$ , et non dans la direction considérée ici.

Question 18

18. Pour $\alpha>0$ , que vaut $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}$ ?

1

0

-\infty

+\infty

Explication

La croissance de $x^\alpha$ , pour $\alpha>0$ , domine celle de $\ln(x)$ lorsque x tend vers $+\infty$ ; leur quotient tend donc vers zéro. Le logarithme tend bien vers $+\infty$ , mais moins vite que cette puissance.

Question 19

19. Quelle limite remarquable permet de comparer l’accroissement de $\exp(h)$ à h lorsque h tend vers zéro ?

\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}=0

\lim_{h\to0}\frac{\exp(h)}{h}=1

\lim_{h\to0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1

\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=0

Explication

La limite du quotient de l’accroissement $\exp(h)-1$ par h vaut 1 lorsque h tend vers zéro. Le quotient $\exp(h)/h$ ne soustrait pas la valeur initiale de l’exponentielle et ne correspond pas à cette limite remarquable.

Question 20

20. Quelle caractéristique définit un repère semi-logarithmique et explique son utilité pour des données très étendues ?

Les deux axes sont logarithmiques, ce qui transforme les relations de puissance en droites.

Un axe est logarithmique et l’autre gradué selon une échelle de puissance, ce qui représente les périodicités.

Un axe est linéaire et l’autre logarithmique, ce qui aide à représenter des phénomènes exponentiels ou plusieurs ordres de grandeur.

Les deux axes sont linéaires, ce qui met en évidence les variations proportionnelles.

Explication

Dans un repère semi-logarithmique, un axe est linéaire et l’autre logarithmique, une combinaison utile pour les phénomènes exponentiels et les mesures couvrant plusieurs ordres de grandeur. Deux axes logarithmiques caractérisent plutôt un repère log-log, adapté aux relations de puissance.

Question 21

21. Pour rendre linéaire sur un graphique une relation de puissance entre $x$ et $y$ , quel type de repère convient ?

Un repère semi-logarithmique, où l’abscisse est linéaire et l’ordonnée logarithmique.

Un repère log-log, où les deux axes suivent une échelle logarithmique.

Un repère semi-logarithmique, où l’abscisse est logarithmique et l’ordonnée linéaire.

Un repère cartésien ordinaire, où les deux axes suivent une échelle linéaire.

Explication

Un repère log-log utilise une échelle logarithmique sur les deux axes et permet de représenter linéairement les relations de puissance. Un repère semi-logarithmique n’a qu’un axe logarithmique et ne correspond donc pas à cette représentation des relations de puissance.

QCM : Études de fonctions (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel phénomène biologique peut être modélisé par une fonction reliant deux grandeurs ?

2. À quoi peut servir l’étude d’une fonction qui modélise une relation entre grandeurs ?

3. Quelle condition caractérise une fonction croissante sur un intervalle $I$ ?

4. Sur un intervalle $I$ , une fonction $f$ est décroissante lorsque quelle relation est vérifiée pour tous $a \leq b$ dans $I$ ?

5. Pour la fonction affine $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$ , que peut-on conclure si $a<0$ ?

6. Comment varie la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur son domaine $\mathbb{R}^*$ ?

7. Pour étudier les variations d’une fonction sur un intervalle $I$ , quelle démarche faut-il suivre ?

8. Quelle condition signifie que $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ ?

9. Si $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ , quelle affirmation est correcte ?

10. Comment caractérise-t-on la dérivabilité de f en a à l’aide d’un taux d’accroissement ?

11. Une fonction dérivable vérifie $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$ . Quelle équation décrit la tangente à sa courbe au point d’abscisse 2 ?

12. Pour dériver $x^6$ , quelle expression obtient-on ?

13. Pour $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+1$ , quelle expression donne la dérivée de $u(x)v(x)$ ?

14. Une fonction f est continue et dérivable sur un intervalle I, et sa dérivée y est non négative. Que peut-on conclure ?

15. Sur un intervalle I, une fonction continue et dérivable vérifie $f'(x)\leq 0$ en tout point. Quel est son sens de variation ?

16. Pour établir les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction à partir de sa dérivée, quelle démarche faut-il suivre ?

17. Quelle limite décrit le comportement de $\exp(x)$ lorsque x tend vers $-\infty$ ?

18. Pour $\alpha>0$ , que vaut $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}$ ?

19. Quelle limite remarquable permet de comparer l’accroissement de $\exp(h)$ à h lorsque h tend vers zéro ?

20. Quelle caractéristique définit un repère semi-logarithmique et explique son utilité pour des données très étendues ?

21. Pour rendre linéaire sur un graphique une relation de puissance entre $x$ et $y$ , quel type de repère convient ?

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QCM : Études de fonctions (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel phénomène biologique peut être modélisé par une fonction reliant deux grandeurs ?

2. À quoi peut servir l’étude d’une fonction qui modélise une relation entre grandeurs ?

3. Quelle condition caractérise une fonction croissante sur un intervalle III ?

4. Sur un intervalle III, une fonction fff est décroissante lorsque quelle relation est vérifiée pour tous a≤ba \leq ba≤b dans III ?

5. Pour la fonction affine f(x)=ax+bf(x)=ax+bf(x)=ax+b avec a≠0a \neq 0a=0, que peut-on conclure si a<0a<0a<0 ?

6. Comment varie la fonction x↦1xx \mapsto \frac{1}{x}x↦x1​ sur son domaine R∗\mathbb{R}^*R∗ ?

7. Pour étudier les variations d’une fonction sur un intervalle III, quelle démarche faut-il suivre ?

8. Quelle condition signifie que fff admet un maximum en aaa sur III ?

9. Si fff admet un minimum en aaa sur III, quelle affirmation est correcte ?

10. Comment caractérise-t-on la dérivabilité de f en a à l’aide d’un taux d’accroissement ?

11. Une fonction dérivable vérifie f(2)=5f(2)=5f(2)=5 et f′(2)=−3f'(2)=-3f′(2)=−3. Quelle équation décrit la tangente à sa courbe au point d’abscisse 2 ?

12. Pour dériver x6x^6x6, quelle expression obtient-on ?

13. Pour u(x)=x2u(x)=x^2u(x)=x2 et v(x)=x+1v(x)=x+1v(x)=x+1, quelle expression donne la dérivée de u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) ?

14. Une fonction f est continue et dérivable sur un intervalle I, et sa dérivée y est non négative. Que peut-on conclure ?

15. Sur un intervalle I, une fonction continue et dérivable vérifie f′(x)≤0f'(x)\leq 0f′(x)≤0 en tout point. Quel est son sens de variation ?

16. Pour établir les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction à partir de sa dérivée, quelle démarche faut-il suivre ?

17. Quelle limite décrit le comportement de exp⁡(x)\exp(x)exp(x) lorsque x tend vers −∞-\infty−∞ ?

18. Pour α>0\alpha>0α>0, que vaut lim⁡x→+∞ln⁡(x)xα\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}limx→+∞​xαln(x)​ ?

19. Quelle limite remarquable permet de comparer l’accroissement de exp⁡(h)\exp(h)exp(h) à h lorsque h tend vers zéro ?

20. Quelle caractéristique définit un repère semi-logarithmique et explique son utilité pour des données très étendues ?

21. Pour rendre linéaire sur un graphique une relation de puissance entre xxx et yyy, quel type de repère convient ?

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3. Quelle condition caractérise une fonction croissante sur un intervalle $I$ ?

4. Sur un intervalle $I$ , une fonction $f$ est décroissante lorsque quelle relation est vérifiée pour tous $a \leq b$ dans $I$ ?

5. Pour la fonction affine $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$ , que peut-on conclure si $a<0$ ?

6. Comment varie la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur son domaine $\mathbb{R}^*$ ?

7. Pour étudier les variations d’une fonction sur un intervalle $I$ , quelle démarche faut-il suivre ?

8. Quelle condition signifie que $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ ?

9. Si $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ , quelle affirmation est correcte ?

11. Une fonction dérivable vérifie $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$ . Quelle équation décrit la tangente à sa courbe au point d’abscisse 2 ?

12. Pour dériver $x^6$ , quelle expression obtient-on ?

13. Pour $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+1$ , quelle expression donne la dérivée de $u(x)v(x)$ ?

15. Sur un intervalle I, une fonction continue et dérivable vérifie $f'(x)\leq 0$ en tout point. Quel est son sens de variation ?

17. Quelle limite décrit le comportement de $\exp(x)$ lorsque x tend vers $-\infty$ ?

18. Pour $\alpha>0$ , que vaut $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}$ ?

19. Quelle limite remarquable permet de comparer l’accroissement de $\exp(h)$ à h lorsque h tend vers zéro ?

21. Pour rendre linéaire sur un graphique une relation de puissance entre $x$ et $y$ , quel type de repère convient ?