Fiche de révision : Études de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Modélisation biologique par les fonctions
2. Monotonie et variations des fonctions
3. Extremums et tableaux de variations
4. Dérivée et règles de calcul
5. Dérivée et sens de variation
6. Limites usuelles et croissances comparées
7. Repères semi-logarithmiques et log-log

📖 1. Modélisation biologique par les fonctions

★ À maîtriser

• En biologie et dans d’autres sciences, les fonctions modélisent notamment la croissance d’une plante au cours du temps, la vitesse d’une réaction enzymatique selon la concentration en substrat, l’intensité lumineuse selon la concentration d’un soluté et la concentration sanguine d’un médicament au cours du temps.

Compléments

• L’étude des fonctions modélisant une relation entre grandeurs permet d’expliquer, d’anticiper et d’exploiter le phénomène étudié.

📖 2. Monotonie et variations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : croissante sur un intervalle I si, pour tous a,b ∈ I tels que a ≤ b, f(a) ≤ f(b).
• Fonction décroissante : décroissante sur un intervalle I si, pour tous a,b ∈ I tels que a ≤ b, f(a) ≥ f(b).
• Monotonie : Une fonction est monotone sur I si elle y est croissante ou décroissante, et strictement monotone si elle y est strictement croissante ou strictement décroissante.

★ À maîtriser

• Pour une fonction affine f(x)=ax+b avec a ≠ 0, f est strictement croissante si a > 0 et strictement décroissante si a < 0.

• La fonction inverse x ↦ 1/x est strictement décroissante séparément sur ℝ⁻* et sur ℝ⁺, mais elle n’est pas strictement décroissante sur ℝ.

Compléments

• Pour n ∈ ℕ*, x ↦ xⁿ est croissante sur ℝ⁺* ; sur ℝ⁻*, elle est décroissante si n est pair et croissante si n est impair.

• Les fonctions racines x ↦ x^(1/n), pour n ∈ ℕ*, sont strictement croissantes sur ℝ⁺*.

• Pour a > 1, la fonction exponentielle x ↦ a^x est strictement croissante sur ℝ ; pour 0 < a < 1, elle est strictement décroissante.

• Pour b > 1, la fonction logarithme x ↦ log_b(x) est strictement croissante sur ℝ⁺* ; pour 0 < b < 1, elle est strictement décroissante.

💡 Astuce mémo

Sur chaque intervalle, une fonction monte ou descend ; l’inverse décroît séparément de chaque côté de zéro.

📖 3. Extremums et tableaux de variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Une fonction f admet un maximum en a sur I si f(x) ≤ f(a) pour tout x ∈ I, et la valeur de ce maximum est f(a).
• Minimum : Une fonction f admet un minimum en a sur I si f(x) ≥ f(a) pour tout x ∈ I, et la valeur de ce minimum est f(a).

★ À maîtriser

• Étudier les variations de f sur un intervalle I consiste à découper I en intervalles ne se chevauchant pas, sur chacun desquels f est monotone.

Compléments

• Un tableau de variations présente généralement les valeurs de la variable et les variations correspondantes de la fonction en deux lignes.

• Pour la fonction donnée en exemple sur [0;4], le maximum vaut 5 et est atteint en x=1 et x=3, tandis que le minimum vaut −4 et est atteint en x=0 et x=4.

📖 4. Dérivée et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : f est dérivable en a si la limite $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et vaut le nombre dérivé f′(a).
• Fonction dérivée : La fonction dérivée f′ associe à chaque point a du domaine de dérivabilité la valeur f′(a), et son domaine est l’ensemble des points où f est dérivable.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si f est dérivable en a, une équation de la tangente à sa courbe en a est $y=f′(a)(x-a)+f(a)$.

📐 Formule - Pour n ∈ ℕ, la dérivée de xⁿ est $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$.

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables u et v, les règles de calcul sont $(u+v)'=u'+v',\quad (ku)'=ku',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2},\quad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, avec v ≠ 0 pour les quotients.

📐 Formule - Pour une composée v∘u, la dérivée vérifie $(v\circ u)'=u'\,(v'\circ u)$.

Compléments

• Les dérivées de exp(x), sin(x) et cos(x) sont respectivement $\exp(x)$, $\cos(x)$ et $-\sin(x)$.

📖 5. Dérivée et sens de variation

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et dérivable sur un intervalle I, alors f est croissante sur I si et seulement si f′(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I.

📌 Si f est continue et dérivable sur un intervalle I, alors f est décroissante sur I si et seulement si f′(x) ≤ 0 pour tout x ∈ I.

• Pour déterminer les variations de f à partir de sa dérivée, on étudie le signe de f′ puis on en déduit les intervalles de croissance et de décroissance de f.

Compléments

• Pour f(x)=−x⁴+8x³−22x²+24x−4 sur [0;4], f′(x)=−4(x−1)(x−2)(x−3), qui s’annule en 1, 2 et 3.

💡 Astuce mémo

Le signe de f′ entraîne le sens de variation de f.

📖 6. Limites usuelles et croissances comparées

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les limites usuelles sont $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$.

📐 Formule - Pour α > 0, les croissances comparées vérifient $\lim_{x\to+\infty}\frac{\exp(x)}{x^\alpha}=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}x^\alpha\exp(x)=0,\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0$.

📐 Formule - Les limites en zéro vérifient $\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1,\quad \lim_{h\to0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1,\quad \lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}=1$.

📖 7. Repères semi-logarithmiques et log-log

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère semi-logarithmique : Un repère semi-logarithmique possède un axe gradué linéairement et l’autre selon une échelle logarithmique ; il permet notamment de représenter des phénomènes exponentiels ou des mesures couvrant plusieurs ordres de grandeur.
• Repère log-log : Un repère log-log possède deux axes gradués selon une échelle logarithmique et permet de représenter linéairement des relations de puissance entre x et y.

📝 Points essentiels

• Dans un repère semi-logarithmique à abscisse linéaire et ordonnée logarithmique, la courbe de x ↦ exp(ax+b) est une droite d’équation y=ax+b.

💡 Astuce mémo

Semi-log : un axe logarithmique ; log-log : les deux axes logarithmiques.