Fiche de révision : Études de fonctions réelles

📋 Plan du Cours

1. Définition et domaine des fonctions
2. Courbes et transformations graphiques
3. Parité et périodicité
4. Opérations et composition
5. Bornes et variations
6. Asymptotes et comportement à l’infini
7. Continuité et prolongement
8. Dérivée et tangente
9. Calcul différentiel et monotonie
10. Bijection et fonction réciproque
11. Logarithme, exponentielle et puissances
12. Fonctions hyperboliques

📖 1. Définition et domaine des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble des réels x pour lesquels l’expression f(x) a un sens.
• Restriction de fonction : La fonction définie sur A par f|A(x)=f(x).

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction f, chaque réel x du domaine possède une unique image f(x), tandis qu’un réel y peut avoir plusieurs antécédents.

💡 Astuce mémo

Une entrée x possède une unique image, mais une image peut avoir plusieurs antécédents.

📖 2. Courbes et transformations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Graphe d’une fonction : L’ensemble des points du plan de coordonnées (x,f(x)) lorsque x appartient au domaine de f.

📝 Points essentiels

• La courbe de la fonction x↦−f(x) est obtenue par symétrie de la courbe de f par rapport à l’axe des abscisses.

• La courbe de x↦f(x)+b est translatée du vecteur b⃗j, tandis que celle de x↦f(x+a) est translatée du vecteur −a⃗i.

💡 Astuce mémo

Réflexion, translation, puis dilatation transforment la courbe.

📖 3. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction définie sur un domaine symétrique par rapport à 0 qui vérifie, pour tout x, f(−x)=f(x), et dont la courbe admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
• Fonction impaire : Une fonction définie sur un domaine symétrique par rapport à 0 qui vérifie, pour tout x, f(−x)=−f(x), et dont la courbe admet l’origine comme centre de symétrie.
• Fonction périodique : Une fonction est T-périodique si T>0, son domaine est stable par translations de ±T et f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à Oy ; impaire : symétrie centrale en O.

📖 4. Opérations et composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Si f(D1) est inclus dans D2, la composée g∘f est définie sur D1 par (g∘f)(x)=g(f(x)).

★ À maîtriser

📌 La somme et le produit de deux fonctions sont définis sur l’intersection de leurs domaines, tandis que le quotient est défini sur cette intersection seulement lorsque le dénominateur ne s’annule pas.

Compléments

📌 La composition des fonctions est associative : (h∘g)∘f=h∘(g∘f), lorsque les compositions sont définies.

💡 Astuce mémo

Même domaine pour additionner, multiplier ou composer seulement si les valeurs conviennent.

📖 5. Bornes et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction bornée : Une fonction f est bornée sur D s’il existe deux réels m et M tels que, pour tout x de D, m≤f(x)≤M.
• Maximum : Si, pour tout x de D, f(x)≤f(x₀), et f(x₀) est alors le maximum de f sur D.
• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur D si x≤y entraîne f(x)≤f(y) pour tous x,y de D.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une fonction f est bornée si et seulement s’il existe un réel positif K tel que, pour tout x de D, $|f(x)|\le K$.

💡 Astuce mémo

Un majorant encadre par-dessus, un minorant par-dessous ; un maximum ou minimum est atteint.

📖 6. Asymptotes et comportement à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : Si lim x→x₀ f(x) vaut +∞ ou −∞, la droite d’équation x=x₀ à la courbe de f.
• Asymptote affine : Une droite au voisinage de +∞ si lim x→+∞(f(x)−(ax+b))=0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour rechercher une asymptote oblique y=ax+b en +∞, on calcule $a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x$ puis $b=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-ax)$, lorsque ces limites existent.

💡 Astuce mémo

Une limite infinie près de x₀ entraîne une asymptote verticale ; un écart nul entraîne une asymptote affine.

📖 7. Continuité et prolongement

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a si lim x→a f(x)=f(a).
• Prolongement par continuité : Si f définie sur un intervalle possède une limite finie ℓ à une extrémité a, elle est prolongeable par continuité en a en posant f̂(a)=ℓ.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction est continue en a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en a.

💡 Astuce mémo

Limite à gauche et à droite égales à f(a) : continuité ; limite finie en bord : prolongement.

📖 8. Dérivée et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : Si la limite finie du taux d’accroissement lim x→a (f(x)−f(a))/(x−a) existe ; cette limite est f′(a).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Lorsque f est dérivable en a, la tangente à sa courbe au point d’abscisse a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Toute fonction dérivable en a est continue en a, mais une fonction continue en a peut ne pas être dérivable en a.

💡 Astuce mémo

La continuité regarde la valeur limite ; la dérivabilité regarde la pente limite.

📖 9. Calcul différentiel et monotonie

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables f et g, la dérivée du produit vérifie $(fg)'=f'g+fg'.$

📐 Formule — Si g ne s’annule pas, la dérivée du quotient vérifie $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$

📐 Formule — La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x)).$

📌 Sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si sa dérivée est positive ou nulle partout, et décroissante si et seulement si sa dérivée est négative ou nulle partout.

💡 Astuce mémo

Le signe de la dérivée → le sens de variation sur un intervalle.

📖 10. Bijection et fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Une fonction f de I vers J si tout élément de J possède un unique antécédent dans I.

📝 Points essentiels

📌 Si f est une bijection de I sur J, alors f⁻¹∘f=idI et f∘f⁻¹=idJ.

• La courbe de la fonction réciproque f⁻¹ est la symétrique de la courbe de f par rapport à la droite y=x.

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image, et sa réciproque est continue et strictement monotone de même sens.

💡 Astuce mémo

Une bijection donne un unique antécédent ; sa réciproque échange entrée et antécédent.

📖 11. Logarithme, exponentielle et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : L’unique fonction dérivable sur ]0,+∞[ telle que ln′(x)=1/x et ln(1)=0.
• Fonction exponentielle : La fonction réciproque de ln, définie sur R et à valeurs dans R∗+.

• Fonction puissance réelle : Pour a réel, la fonction définie sur R∗+ par fa(x)=xᵃ=exp(a ln(x)).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour x,y>0, le logarithme vérifie $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ et $\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y).$

📐 Formule — Pour tout réel x, la fonction exponentielle vérifie $\exp'(x)=\exp(x)$ et $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y).$

💡 Astuce mémo

ln et exp s’inversent ; les puissances réelles se construisent par exp(a ln x).

📖 12. Fonctions hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus hyperbolique : Défini sur R par $\operatorname{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2.$
• Sinus hyperbolique : Défini sur R par $\operatorname{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2.$

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel x, les fonctions hyperboliques vérifient $(\operatorname{ch}(x))^2-(\operatorname{sh}(x))^2=1.$

• La fonction tangente hyperbolique est impaire, dérivable, vérifie th′(x)=1/(ch(x))²=1−(th(x))² et tend vers 1 en +∞ et vers −1 en −∞.

💡 Astuce mémo

ch est paire, sh et th sont impaires ; th reste entre −1 et 1.

📊 Tableaux de synthèse

Types de symétrie des fonctions