Fiche de révision : Points du plan et de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Réels et coordonnées vectorielles
2. Coordonnées cartésiennes du plan
3. Coordonnées polaires et complexes
4. Coordonnées cartésiennes de l’espace
5. Coordonnées sphériques

📖 1. Réels et coordonnées vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• R^n : Ensemble des n-uples (x₁, ..., xₙ) de nombres réels.

📝 Points essentiels

• Le cours se concentre sur R², constitué de couples (x, y), et sur R³, constitué de triplets (x, y, z).

💡 Astuce mémo

Point géométrique ≠ couple algébrique, mais chacun décrit l’autre.

📖 2. Coordonnées cartésiennes du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormal : Possède une origine O et deux vecteurs i⃗ et j⃗ orthogonaux et de longueur 1.
• Coordonnées cartésiennes : Le couple (x, y) est constitué des coordonnées cartésiennes du point M si et seulement si $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$.

★ À maîtriser

• La coordonnée x est l’abscisse de M et se lit par projection orthogonale sur l’axe (Ox), tandis que y est son ordonnée et se lit par projection orthogonale sur l’axe (Oy).

Compléments

📐 Formule — Pour un point M de coordonnées (x, y), les distances aux projections vérifient $OH=|x|$ et $OH'=|y|$.

📐 Formule — Pour un point M de coordonnées (x, y), le théorème de Pythagore donne $OM^2=x^2+y^2$ et donc $OM=\sqrt{x^2+y^2}$.

💡 Astuce mémo

Projeter M sur les axes Ox et Oy pour lire x et y.

📖 3. Coordonnées polaires et complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Le rayon $r=OM\in\mathbb{R}_+$ et l’angle orienté θ qui caractérise sa position sur le cercle de centre O et de rayon r.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le passage des coordonnées polaires (r, θ) aux coordonnées cartésiennes (x, y) est donné par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

📐 Formule — Un nombre complexe peut s’écrire sous les formes $z=x+iy$ et $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$.

Compléments

• En mathématiques, un angle de 180° correspond à π radians.

💡 Astuce mémo

Rayon r et angle θ → coordonnées x et y.

📖 4. Coordonnées cartésiennes de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cartésiennes dans l’espace : Les coordonnées cartésiennes d’un point M de l’espace sont le triplet (x, y, z) vérifiant $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

📝 Points essentiels

• Dans l’espace, O est l’origine et i⃗, j⃗ et k⃗ sont trois vecteurs de longueur 1 dirigeant respectivement les axes (Ox), (Oy) et (Oz).

• Les points A(x, 0, 0), B(0, y, 0) et H(x, y, 0) appartiennent au plan horizontal passant par l’origine.

• Les points C(0, 0, z), A’(x, 0, z), B’(0, y, z) et M(x, y, z) appartiennent à un même plan parallèle au plan horizontal et ont tous la même troisième coordonnée z.

💡 Astuce mémo

x, y, z : deux coordonnées dans le plan, puis une hauteur supplémentaire.

📖 5. Coordonnées sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées sphériques : r, sa longitude φ et sa colatitude θ, avec θ∈[0,π].

★ À maîtriser

📐 Formule — Les coordonnées cartésiennes d’un point M de coordonnées sphériques (r, θ, φ) sont $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$ et $z=r\cos\theta$.

Compléments

• Les pôles Nord et Sud d’une sphère de centre O et de rayon r ont respectivement pour coordonnées (0, 0, r) et (0, 0, −r), tandis que le point A a pour coordonnées (r, 0, 0).

• La latitude d’un point M vaut π/2−θ et appartient à l’intervalle [−π/2, π/2].

💡 Astuce mémo

Une sphère avec longitude φ et colatitude θ autour de ses pôles.

📊 Tableaux de synthèse

Coordonnées du plan et de l’espace