QCM : Points du plan et de l’espace — 12 questions

Question 1

1. Que désigne l’ensemble $\mathbb{R}^n$ pour un entier naturel $n$ ?

L’ensemble des nombres réels positifs

L’ensemble des polynômes de degré

n

L’ensemble des vecteurs de longueur

n

L’ensemble des

n

-uplets de nombres réels

Explication

Par définition, $\mathbb{R}^n$ regroupe les suites ordonnées de $n$ nombres réels. La notation $\mathbb{R}$ désigne, elle, l’ensemble des nombres réels pris individuellement.

Answer

L’ensemble des $$n$$-uplets de nombres réels

Question 2

2. Quelle distinction décrit correctement $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ ?

\mathbb{R}^2

contient des triplets et

\mathbb{R}^3

contient des couples

\mathbb{R}^2

contient des vecteurs unitaires et

\mathbb{R}^3

contient des vecteurs orthogonaux

\mathbb{R}^2

contient des couples et

\mathbb{R}^3

contient des triplets

\mathbb{R}^2

contient des nombres réels et

\mathbb{R}^3

contient des couples

Explication

Un élément de $\mathbb{R}^2$ s’écrit sous la forme $(x,y)$ , tandis qu’un élément de $\mathbb{R}^3$ s’écrit sous la forme $(x,y,z)$ . La différence porte donc sur le nombre de composantes.

Answer

$$\mathbb{R}^2$$ contient des couples et $$\mathbb{R}^3$$ contient des triplets

Question 3

3. Quelles propriétés caractérisent les deux vecteurs directeurs d’un repère orthonormal du plan ?

Ils sont orthogonaux et de longueur

1

Ils sont parallèles et de longueurs quelconques

Ils sont orthogonaux et de longueurs quelconques

Ils sont de même direction et de longueur

1

Explication

Un repère orthonormal possède deux vecteurs à la fois perpendiculaires et unitaires. Un repère quelconque ne vérifie pas forcément ces deux conditions.

Answer

Ils sont orthogonaux et de longueur $$1$$

Question 4

4. Dans un repère orthonormal, quelle relation caractérise le fait que $M$ ait pour coordonnées cartésiennes $(x,y)$ ?

\overrightarrow{OM}=xy(\vec{i}+\vec{j})

\overrightarrow{OM}=x\vec{j}+y\vec{i}

\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}

\overrightarrow{OM}=x\vec{i}-y\vec{j}

Explication

Les coordonnées cartésiennes sont les coefficients de la décomposition de $\overrightarrow{OM}$ selon les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ . Le coefficient de $\vec{i}$ est l’abscisse $x$ et celui de $\vec{j}$ est l’ordonnée $y$ .

Answer

$$\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$$

Question 5

5. Comment lit-on les coordonnées cartésiennes d’un point $M$ par projection orthogonale ?

x

est la distance à

(Oy)

et

y

la distance à

(Ox)

x

est l’angle avec

(Ox)

et

y

la distance à

O

x

est l’ordonnée lue sur

(Oy)

et

y

l’abscisse lue sur

(Ox)

x

est l’abscisse lue sur

(Ox)

et

y

l’ordonnée lue sur

(Oy)

Explication

La projection orthogonale sur l’axe $(Ox)$ fournit l’abscisse $x$ , tandis que celle sur $(Oy)$ fournit l’ordonnée $y$ . Les deux coordonnées sont donc associées à des axes différents.

Answer

$$x$$ est l’abscisse lue sur $$(Ox)$$ et $$y$$ l’ordonnée lue sur $$(Oy)$$

Question 6

6. Quelles données constituent les coordonnées polaires d’un point $M$ distinct de $O$ ?

La distance à

(Ox)

et la distance à

(Oy)

Le diamètre du cercle et une pente orientée

L’abscisse

x

et l’ordonnée

y

Le rayon

r=OM

et un angle orienté

\theta

Explication

Les coordonnées polaires décrivent $M$ par sa distance à l’origine, $r=OM$ , et par l’angle orienté $\theta$ . Le couple $(x,y)$ appartient aux coordonnées cartésiennes.

Answer

Le rayon $$r=OM$$ et un angle orienté $$\theta$$

Question 7

7. Pour convertir des coordonnées polaires $(r,\theta)$ en coordonnées cartésiennes, quelles formules faut-il utiliser ?

x=\frac{\cos\theta}{r}

et

y=\frac{\sin\theta}{r}

x=r\sin\theta

et

y=r\cos\theta

x=r+\cos\theta

et

y=r+\sin\theta

x=r\cos\theta

et

y=r\sin\theta

Explication

La projection du rayon sur l’axe horizontal donne $x=r\cos\theta$ , tandis que sa projection sur l’axe vertical donne $y=r\sin\theta$ . Intervertir sinus et cosinus conduit à associer chaque projection au mauvais axe.

Answer

$$x=r\cos\theta$$ et $$y=r\sin\theta$$

Question 8

8. Quelle écriture représente correctement un nombre complexe sous forme cartésienne et sous forme trigonométrique ?

z=x+iy=r(\sin\theta+i\cos\theta)=re^{-i\theta}

z=x+iy=(r+\cos\theta)+i(r+\sin\theta)

z=x-iy=r(\cos\theta-i\sin\theta)=re^{i\theta}

z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}

Explication

Un nombre complexe s’écrit sous forme cartésienne $x+iy$ et sous forme trigonométrique $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , équivalente à $re^{i\theta}$ . La forme exponentielle conserve le même rayon et le même angle.

Answer

$$z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$$

Question 9

9. Quelles sont les coordonnées cartésiennes d’un point M de l’espace lorsque $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ?

Le triplet

(x,y,z)

Le couple

(x,y)

Le triplet

(x,z,y)

Le couple

(y,z)

Explication

Les coordonnées cartésiennes de M sont les trois coefficients associés aux vecteurs directeurs des axes, soit $(x,y,z)$ . Le couple $(x,y)$ décrit un point du plan, mais il manque alors la coordonnée selon le troisième axe.

Answer

Le triplet $$(x,y,z)$$

Question 10

10. Dans un repère cartésien de l’espace, quel rôle jouent les vecteurs unitaires $\vec{i}$ , $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ?

Ils définissent trois plans horizontaux parallèles entre eux

Ils représentent respectivement l’origine et deux axes du repère

Ils dirigent respectivement les axes

(Ox)

,

(Oy)

et

(Oz)

Ils donnent les coordonnées polaires d’un point situé dans le plan

Explication

Ces trois vecteurs de longueur 1 orientent respectivement les trois axes du repère spatial. L’idée de deux vecteurs directeurs suffit dans le plan, mais elle ne permet pas de décrire le troisième axe de l’espace.

Answer

Ils dirigent respectivement les axes $$(Ox)$$, $$(Oy)$$ et $$(Oz)$$

Question 11

11. Quelles grandeurs constituent les coordonnées sphériques d’un point M situé sur une sphère de centre O et de rayon r ?

Le rayon r, la longitude φ et la colatitude θ

La longitude φ, la latitude et la hauteur z

Les coordonnées x, y et z du point M

Le rayon r, la latitude et la distance à l’axe Oz

Explication

Les coordonnées sphériques sont formées du rayon $r$ , de la longitude $\varphi$ et de la colatitude $\theta$ , cette dernière appartenant à $[0,\pi]$ . La latitude est liée à la colatitude par $\frac{\pi}{2}-\theta$ , mais elle ne remplace pas la définition demandée.

Answer

Le rayon r, la longitude φ et la colatitude θ

Question 12

12. Un point possède les coordonnées sphériques $(r,\theta,\varphi)$ . Quelle expression donne sa coordonnée cartésienne z ?

z=r\sin\theta\cos\varphi

z=r\cos\theta

z=r\sin\theta\sin\varphi

z=r\cos\theta\cos\varphi

Explication

La conversion des coordonnées sphériques vers les coordonnées cartésiennes donne $z=r\cos\theta$ , car la colatitude est mesurée à partir de l’axe vertical. Les expressions comportant $\sin\theta$ correspondent aux coordonnées horizontales x et y.

Answer

$$z=r\cos\theta$$

QCM : Points du plan et de l’espace — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que désigne l’ensemble $\mathbb{R}^n$ pour un entier naturel $n$ ?

2. Quelle distinction décrit correctement $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ ?

3. Quelles propriétés caractérisent les deux vecteurs directeurs d’un repère orthonormal du plan ?

4. Dans un repère orthonormal, quelle relation caractérise le fait que $M$ ait pour coordonnées cartésiennes $(x,y)$ ?

5. Comment lit-on les coordonnées cartésiennes d’un point $M$ par projection orthogonale ?

6. Quelles données constituent les coordonnées polaires d’un point $M$ distinct de $O$ ?

7. Pour convertir des coordonnées polaires $(r,\theta)$ en coordonnées cartésiennes, quelles formules faut-il utiliser ?

8. Quelle écriture représente correctement un nombre complexe sous forme cartésienne et sous forme trigonométrique ?

9. Quelles sont les coordonnées cartésiennes d’un point M de l’espace lorsque $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ?

10. Dans un repère cartésien de l’espace, quel rôle jouent les vecteurs unitaires $\vec{i}$ , $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ?

11. Quelles grandeurs constituent les coordonnées sphériques d’un point M situé sur une sphère de centre O et de rayon r ?

12. Un point possède les coordonnées sphériques $(r,\theta,\varphi)$ . Quelle expression donne sa coordonnée cartésienne z ?

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QCM : Points du plan et de l’espace — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que désigne l’ensemble Rn\mathbb{R}^nRn pour un entier naturel nnn ?

2. Quelle distinction décrit correctement R2\mathbb{R}^2R2 et R3\mathbb{R}^3R3 ?

3. Quelles propriétés caractérisent les deux vecteurs directeurs d’un repère orthonormal du plan ?

4. Dans un repère orthonormal, quelle relation caractérise le fait que MMM ait pour coordonnées cartésiennes (x,y)(x,y)(x,y) ?

5. Comment lit-on les coordonnées cartésiennes d’un point MMM par projection orthogonale ?

6. Quelles données constituent les coordonnées polaires d’un point MMM distinct de OOO ?

7. Pour convertir des coordonnées polaires (r,θ)(r,\theta)(r,θ) en coordonnées cartésiennes, quelles formules faut-il utiliser ?

8. Quelle écriture représente correctement un nombre complexe sous forme cartésienne et sous forme trigonométrique ?

9. Quelles sont les coordonnées cartésiennes d’un point M de l’espace lorsque OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}OM=xi+yj​+zk ?

10. Dans un repère cartésien de l’espace, quel rôle jouent les vecteurs unitaires i⃗\vec{i}i, j⃗\vec{j}j​ et k⃗\vec{k}k ?

11. Quelles grandeurs constituent les coordonnées sphériques d’un point M situé sur une sphère de centre O et de rayon r ?

12. Un point possède les coordonnées sphériques (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi)(r,θ,φ). Quelle expression donne sa coordonnée cartésienne z ?

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1. Que désigne l’ensemble $\mathbb{R}^n$ pour un entier naturel $n$ ?

2. Quelle distinction décrit correctement $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ ?

4. Dans un repère orthonormal, quelle relation caractérise le fait que $M$ ait pour coordonnées cartésiennes $(x,y)$ ?

5. Comment lit-on les coordonnées cartésiennes d’un point $M$ par projection orthogonale ?

6. Quelles données constituent les coordonnées polaires d’un point $M$ distinct de $O$ ?

7. Pour convertir des coordonnées polaires $(r,\theta)$ en coordonnées cartésiennes, quelles formules faut-il utiliser ?

9. Quelles sont les coordonnées cartésiennes d’un point M de l’espace lorsque $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ?

10. Dans un repère cartésien de l’espace, quel rôle jouent les vecteurs unitaires $\vec{i}$ , $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ?

12. Un point possède les coordonnées sphériques $(r,\theta,\varphi)$ . Quelle expression donne sa coordonnée cartésienne z ?