QCM : Exercices de probabilités en Terminale S — 11 questions

Question 1

1. Deux événements $A$ et $B$ ont des issues communes. Quelle expression permet de calculer la probabilité de leur réunion ?

P(A)+P(B)+P(A\cap B)

P(A\cap B)-P(A)-P(B)

P(A)P(B)-P(A\cap B)

P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Explication

La réunion additionne les probabilités des deux événements, puis retire leur intersection, comptée deux fois dans la somme initiale. Ajouter l’intersection conduirait donc à la compter une troisième fois au lieu de corriger le double comptage.

Answer

$$P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Question 2

2. Quelle est la formule qui permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements A et B ?

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

P(A\cup B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)

P(A\cup B)=P(A)\times P(B)

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Explication

La formule correcte est $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , car il faut retrancher l’intersection pour ne pas la compter deux fois. La formule qui additionne simplement $P(A)$ et $P(B)$ sans soustraction surestime donc la probabilité.

Answer

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Question 3

3. Dans une urne contenant 2 boules blanches et 4 boules noires, quelle situation rend la probabilité du deuxième tirage dépendante du premier ?

Un tirage sans remise, car les proportions restent constantes

Un tirage avec remise, car la composition devient imprévisible

Un tirage sans remise, car la composition de l’urne est modifiée

Un tirage avec remise, car chaque boule tirée change les proportions

Explication

Sans remise, la boule retirée n’est pas replacée et les proportions changent après le premier tirage. Avec remise, la composition initiale est rétablie avant chaque tirage, ce qui conserve les mêmes probabilités.

Answer

Un tirage sans remise, car la composition de l’urne est modifiée

Question 4

4. Quelle formule permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements A et B ?

P(A\cup B)=P(A)\times P(B)

P(A\cup B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Explication

La formule correcte pour la probabilité de l’union de deux événements est $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , car il faut retirer l’intersection pour ne pas la compter deux fois. L’idée qui additionne sans soustraire l’intersection surestime la probabilité.

Answer

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Question 5

5. Une variable aléatoire associe quelle information à chaque issue d’une expérience aléatoire ?

Un ensemble d’issues

Un nombre

Une condition de réalisation

Une probabilité

Explication

Une variable aléatoire est une fonction qui attribue un nombre à chaque issue possible de l’expérience. Une probabilité décrit plutôt la fréquence ou la chance associée à une issue ou à un événement.

Answer

Elle permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements.

Answer

Elle a été formalisée au XIXe siècle par Andrey Kolmogorov.

Answer

L'indépendance implique que $$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$, tandis que la probabilité conditionnelle concerne $$P(B\mid A)$$ et $$P(B)$$.

Answer

Thomas Bayes

Answer

Elle permet de mettre à jour la probabilité d'un événement en fonction de nouvelles informations.

Question 6

6. Quel est le rôle principal de la formule $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$ en probabilités ?

Elle permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements.

Elle sert à estimer la probabilité conditionnelle entre deux événements.

Elle calcule la probabilité de l'intersection de deux événements.

Elle sert à déterminer si deux événements sont indépendants.

Explication

La formule est utilisée pour déterminer la probabilité que l'un ou l'autre des deux événements se produise. Elle évite de compter deux fois la probabilité de leur intersection, ce qui est essentiel pour un calcul précis.

Question 7

7. Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ , $3$ et $5$ avec les probabilités respectives $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

3{,}2

4{,}0

3

1{,}6

Explication

L’espérance est une moyenne pondérée : $E(X)=1\times0{,}2+3\times0{,}5+5\times0{,}3=3{,}2$ . La valeur $3$ est une issue possible, mais elle ne représente pas la moyenne pondérée des trois issues.

Question 8

8. Quand la formule $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$ a-t-elle été établie dans l'histoire des probabilités ?

Elle a été introduite au XVIIIe siècle par Abraham de Moivre.

Elle a été découverte au début du XXe siècle dans le cadre de la théorie moderne des probabilités.

Elle a été formalisée au XIXe siècle par Andrey Kolmogorov.

Elle a été formulée au XVIIe siècle par Pierre de Fermat.

Explication

La formule a été formalisée dans la axiomatique de la théorie des probabilités par Andrey Kolmogorov au début du XXe siècle, ce qui a permis de structurer rigoureusement la discipline. Avant cela, des formules similaires étaient utilisées, mais sans cadre axiomatique formel.

Question 9

9. En quoi la notion d'indépendance des événements diffère-t-elle de la simple probabilité conditionnelle ?

L'indépendance ne nécessite pas que

P(A)

soit non nulle, contrairement à la probabilité conditionnelle.

L'indépendance implique que

P(A\cap B)=P(A)P(B)

, tandis que la probabilité conditionnelle concerne

P(B\mid A)

et

P(B)

.

L'indépendance concerne uniquement la probabilité de l'événement B, alors que la probabilité conditionnelle concerne la relation entre A et B.

L'indépendance concerne la réalisation simultanée de A et B, alors que la probabilité conditionnelle concerne leur occurrence séparée.

Explication

L'indépendance des événements est définie par $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , ce qui indique que la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. La probabilité conditionnelle $P(B\mid A)$ , quant à elle, mesure l'effet de A sur B, ce qui n'est pas nécessairement nul en cas de dépendance.

Question 10

10. Qui est crédité de la formulation du théorème de Bayes, une règle fondamentale en probabilités conditionnelles ?

Pierre-Simon Laplace

Carl Friedrich Gauss

Thomas Bayes

André-Marie Ampère

Explication

Thomas Bayes est l'auteur du théorème de Bayes, qui permet de mettre à jour la probabilité d'un événement en fonction de nouvelles informations. Laplace a également contribué à la théorie des probabilités, mais ce n'est pas lui qui a formulé ce théorème spécifique.

Question 11

11. Quelle est la conséquence principale de l'application du théorème de Bayes dans l'analyse des probabilités conditionnelles ?

Elle permet de mettre à jour la probabilité d'un événement en fonction de nouvelles informations.

Elle calcule la probabilité d'une union en additionnant les probabilités individuelles puis en soustrayant celle de leur intersection.

Elle établit que deux événements sont indépendants si leur intersection est égale au produit de leurs probabilités.

Elle détermine la probabilité d'un événement en le conditionnant à un autre événement indépendant.

Explication

Le théorème de Bayes permet de réviser la probabilité d'un événement en tenant compte d'informations nouvelles. La réponse incorrecte concernant l'indépendance ne concerne pas directement le théorème de Bayes, mais une propriété différente.

QCM : Exercices de probabilités en Terminale S — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Deux événements $A$ et $B$ ont des issues communes. Quelle expression permet de calculer la probabilité de leur réunion ?

2. Quelle est la formule qui permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements A et B ?

3. Dans une urne contenant 2 boules blanches et 4 boules noires, quelle situation rend la probabilité du deuxième tirage dépendante du premier ?

4. Quelle formule permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements A et B ?

5. Une variable aléatoire associe quelle information à chaque issue d’une expérience aléatoire ?

6. Quel est le rôle principal de la formule $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$ en probabilités ?

7. Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ , $3$ et $5$ avec les probabilités respectives $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

8. Quand la formule $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$ a-t-elle été établie dans l'histoire des probabilités ?

9. En quoi la notion d'indépendance des événements diffère-t-elle de la simple probabilité conditionnelle ?

10. Qui est crédité de la formulation du théorème de Bayes, une règle fondamentale en probabilités conditionnelles ?

11. Quelle est la conséquence principale de l'application du théorème de Bayes dans l'analyse des probabilités conditionnelles ?

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Questions et réponses du QCM

1. Deux événements AAA et BBB ont des issues communes. Quelle expression permet de calculer la probabilité de leur réunion ?

2. Quelle est la formule qui permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements A et B ?

3. Dans une urne contenant 2 boules blanches et 4 boules noires, quelle situation rend la probabilité du deuxième tirage dépendante du premier ?

4. Quelle formule permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements A et B ?

5. Une variable aléatoire associe quelle information à chaque issue d’une expérience aléatoire ?

6. Quel est le rôle principal de la formule P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B) en probabilités ?

7. Une variable aléatoire XXX prend les valeurs 111, 333 et 555 avec les probabilités respectives 0,20{,}20,2, 0,50{,}50,5 et 0,30{,}30,3. Quelle est son espérance ?

8. Quand la formule P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B) a-t-elle été établie dans l'histoire des probabilités ?

9. En quoi la notion d'indépendance des événements diffère-t-elle de la simple probabilité conditionnelle ?

10. Qui est crédité de la formulation du théorème de Bayes, une règle fondamentale en probabilités conditionnelles ?

11. Quelle est la conséquence principale de l'application du théorème de Bayes dans l'analyse des probabilités conditionnelles ?

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1. Deux événements $A$ et $B$ ont des issues communes. Quelle expression permet de calculer la probabilité de leur réunion ?

6. Quel est le rôle principal de la formule $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$ en probabilités ?

7. Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ , $3$ et $5$ avec les probabilités respectives $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

8. Quand la formule $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$ a-t-elle été établie dans l'histoire des probabilités ?