Fiche de révision : Exercices de probabilités en Terminale S

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et dénombrement probabiliste
2. Variables aléatoires et lois
3. Probabilités conditionnelles
4. Tableaux et arbres pondérés
5. Indépendance des événements
6. Conditionnement et théorème de Bayes
7. Tableaux statistiques et suites
8. Groupes sanguins et répétition

📖 1. Ensembles et dénombrement probabiliste

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux événements A et B, la probabilité de leur réunion vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📌 Dans une urne de 2 boules blanches et 4 noires, un tirage sans remise donne des probabilités dépendant des tirages précédents, tandis qu'un tirage avec remise conserve les mêmes proportions à chaque tirage.

Compléments

📐 Formule — Lorsque trois événements sont considérés, la probabilité d'au moins un événement vérifie $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$.

📐 Formule — Le nombre de tirages simultanés de k objets parmi n objets est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📖 2. Variables aléatoires et lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire.

★ À maîtriser

📐 Formule — L'espérance d'une variable aléatoire X prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i est $E(X)=\sum_i x_i p_i$.

📐 Formule — L'écart type d'une variable aléatoire X vérifie $\sigma(X)=\sqrt{E(X^2)-[E(X)]^2}$.

Compléments

• Pour un code aléatoire de six chiffres ne contenant que 0 et 1, le nombre N de chiffres 1 peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

📖 3. Probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un événement B conditionné par un événement A de probabilité non nulle, $P_A(B)=P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

📐 Formule — La formule des probabilités totales, pour une partition A et ¯A, est $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline A)P(B\mid\overline A)$.

📐 Formule — Pour deux événements A et B, $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=P(B)P(A\mid B)$.

Compléments

📌 Les événements A et B sont complémentaires lorsque B=¯A, tandis que A∩B représente leur réalisation simultanée.

💡 Astuce mémo

Conditionner par A n'est pas conditionner par son contraire ¯A.

📖 4. Tableaux et arbres pondérés

★ À maîtriser

• Pour construire un arbre pondéré, on place les probabilités des choix successifs sur les branches, on multiplie les probabilités le long d'un chemin et on additionne les probabilités des chemins correspondant à l'événement recherché.

• Dans une commande de 2 000 puces, l'atelier A produit 60 % des pièces et l'atelier B en produit 40 %.

• L'atelier A produit 4 % de puces défectueuses et l'atelier B en produit 3 %.

Compléments

📐 Formule — Pour une partition A et B, la probabilité d'un événement D vérifie $P(D)=P(A)P(D\mid A)+P(B)P(D\mid B)$.

💡 Astuce mémo

Choisir une branche, multiplier les probabilités, puis additionner les chemins.

📖 5. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si P(A)>0, A et B sont indépendants si et seulement si $P(B\mid A)=P(B)$.

Compléments

• Pour un dé truqué dont la probabilité d'obtenir le numéro k est proportionnelle à k, les probabilités des faces 1 à 6 sont proportionnelles à 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

💡 Astuce mémo

Indépendance : P(A∩B)=P(A)P(B), contrairement à une simple probabilité conditionnelle.

📖 6. Conditionnement et théorème de Bayes

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le lot de 100 dés contenant 20 dés pipés, la probabilité d'obtenir 6 vaut $P(S)=0{,}2\times\frac12+0{,}8\times\frac16$.

📐 Formule — La probabilité qu'un dé soit pipé sachant qu'un 6 a été obtenu est $P(\text{pipé}\mid S)=\frac{P(\text{pipé})P(S\mid\text{pipé})}{P(S)}$.

Compléments

📐 Formule — Si P(A)=0,03, P(B)=0,05 et P(B|A)=0,60, alors $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=0{,}018$.

📐 Formule — Dans une famille étudiée, la probabilité que les deux enfants soient malades est $P(F\cap G)=P(F)P(G\mid F)=0{,}20\times0{,}70$.

💡 Astuce mémo

Information observée → probabilité de la cause.

📖 7. Tableaux statistiques et suites

📝 Points essentiels

• Dans le tableau des retards, 547 personnes n'ont eu aucun retard le premier mois, 346 exactement un retard et 107 au moins deux retards, sur 1 000 personnes.

📐 Formule — Avec les probabilités p_n, q_n et r_n des états aucun retard, exactement un retard et au moins deux retards, la relation d'évolution est $p_{n+1}=0{,}46p_n+0{,}66q_n+0{,}66r_n$.

📐 Formule — Comme p_n+q_n+r_n=1, la relation précédente devient $p_{n+1}=-0{,}2p_n+0{,}66$.

📐 Formule — Pour u_n=p_n-0,55, la suite vérifie $u_{n+1}=-0{,}2u_n$ et est donc géométrique de raison -0,2.

💡 Astuce mémo

État du mois n → transition → relation de récurrence → limite.

📖 8. Groupes sanguins et répétition

★ À maîtriser

• La répartition des groupes sanguins est de 35,0 % O Rh+, 38,1 % A Rh+, 6,2 % B Rh+ et 2,8 % AB Rh+, puis de 9,0 % O Rh−, 7,2 % A Rh−, 1,2 % B Rh− et 0,5 % AB Rh−.

📐 Formule — La probabilité qu'une personne soit du groupe O est la somme des probabilités des catégories O Rh+ et O Rh−, soit $P(O)=0{,}350+0{,}090=0{,}440$.

📐 Formule — La probabilité qu'une personne du groupe O soit Rh+ est $P_O(Rh+)=\frac{P(O\cap Rh+)}{P(O)}=\frac{0{,}350}{0{,}440}$.

Compléments

• Pour n personnes choisies indépendamment, la probabilité qu'au moins une soit du groupe O est $1-(1-0{,}440)^n$.

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de calcul