Qu'est-ce qu'une proposition en mathématiques ?
Un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité vraie ou fausse.
Qu'est-ce qui différencie un axiome d'une proposition démontrée ?
Un axiome ne se déduit pas d'autres propositions, une proposition démontrée s'en déduit.
Quand la négation est-elle vraie ?
Elle est vraie lorsque P est fausse.
Quand la disjonction P ou Q est-elle vraie ?
Elle est vraie si au moins une des deux propositions est vraie.
Comment se note la disjonction en logique ?
Elle se note .
Quand la conjonction P et Q est-elle vraie ?
Elle est vraie si les deux propositions sont vraies.
Comment se note la conjonction en logique ?
Elle se note .
Quand l’équivalence est-elle vraie ?
Elle est vraie lorsque P et Q ont la même valeur logique.
Dans quel cas l’implication est-elle fausse ?
Elle est fausse si P est vraie et Q est fausse.
À quoi est équivalente l’implication ?
Elle est équivalente à .
Quelle est la négation de l’implication ?
Elle est équivalente à .
Comment démontre-t-on une implication par contraposée ?
On démontre que la fausseté de Q entraîne la fausseté de P.
Que permet de conclure un chiffre des unités pair pour un entier impair ?
Que cet entier n'est pas impair, donc il est pair.
Quelle est la méthode pour démontrer une proposition par l’absurde ?
On suppose la proposition fausse puis on déduit une contradiction.
Quelle contradiction montre qu’il n’existe pas de plus petit réel strictement positif ?
contredit la minimalité de .
Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?
Une collection d'objets appelés éléments.
Que signifie pour une partie A de E ?
Tout élément de A appartient à E.
Comment prouve-t-on l'égalité de deux ensembles ?
Par double inclusion.
Qu'est-ce que l'intersection ?
L'ensemble des éléments communs à A et B.
Quelle est la définition de l'union ?
L'ensemble des éléments appartenant à A ou à B.
Que représente le complémentaire ?
Les éléments de E qui n'appartiennent pas à A.
Quelle formule donne le nombre de parties d'un ensemble fini E de cardinal n ?
.
Qu'est-ce que le produit cartésien ?
L'ensemble des couples (x,y) avec x dans E et y dans F.
Que signifie le quantificateur universel ?
P(x) est vraie pour tous les éléments de E.
Que signifie le quantificateur existentiel ?
Au moins un élément de E vérifie P(x).
Que signifie le quantificateur ?
Un unique élément de E vérifie P(x).
Pourquoi l’ordre des quantificateurs et diffère-t-il ?
Parce qu’ils n’ont pas le même sens logique.
Quelle est la négation d’un énoncé universel ?
C’est un énoncé existentiel .
Quelles propriétés doit avoir une relation d’équivalence sur E ?
Elle doit être réflexive, symétrique et transitive.
Quelle est la négation de « pour tout x, P(x) » ?
Il existe au moins un x tel que non P(x).
Quelle est la négation de « il existe x tel que P(x) » ?
Pour tout x, non P(x).
Quelle est la négation de « P et Q » ?
Non P ou non Q.
Quelle est la négation de « P ou Q » ?
Non P et non Q.
Quelle est la négation de l'implication P ⇒ Q ?
P et non Q.
Quelle proposition implique l'autre entre ∀x∈E, (P(x) ou Q(x)) et (∀x∈E, P(x)) ou (∀x∈E, Q(x)) ?
La seconde implique la première, mais pas réciproquement.
Que signifie la proposition ∃x∈E, (P(x) et Q(x)) par rapport à (∃a∈E, P(a)) et (∃b∈E, Q(b)) ?
Elle implique les deux, mais la réciproque est fausse.
À quoi est équivalente une implication P ⇒ Q ?
À sa contraposée non Q ⇒ non P et à la proposition non P ou Q.
Quelles étapes comprend un raisonnement par récurrence ?
L'initialisation puis l'hérédité où P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie.
Comment démontrer une existence de manière constructive ?
En exhibant explicitement un élément qui vérifie la propriété.
Quelle propriété vérifie le réel si ?
Il vérifie .
Quelle est la vérité de la proposition ∀x∈R, ∃y∈R tel que x+y=0 ?
Elle est vraie avec y = -x.
La proposition ∃y∈R, ∀x∈R, x+y=0 est-elle vraie ?
Elle est fausse.
Combien d'éléments contient l'ensemble des parties de E={1,2,3} ?
L'ensemble des parties de E contient 8 éléments.
Que signifie P⇒Q en termes d'inclusion d'ensembles AP et AQ ?
P⇒Q équivaut à AP⊂AQ.
Comment s'exprime A(P ou Q) avec AP et AQ ?
A(P ou Q) = AP ∪ AQ.
Quelle formule donne la fonction indicatrice de la différence symétrique ?
Quelle égalité relie (A×C)∩(B×D) à des intersections d'ensembles ?
(A×C)∩(B×D) = (A∩B)×(C∩D).
L'union (A×C)∪(B×D) est-elle toujours égale à (A∪B)×(C∪D) ?
Non, cette égalité n'est pas toujours vraie.
Qu'est-ce qu'une classe d'équivalence de a pour une relation R ?
L'ensemble des éléments x de E tels que xRa.
Qu'est-ce que l'ensemble quotient E/R ?
L'ensemble des classes d'équivalence des éléments de E.
Que forment les classes d'équivalence d'une relation d'équivalence sur E ?
Une partition de E.
Quelles sont les propriétés des classes d'équivalence dans une partition ?
Elles sont deux à deux disjointes et leur réunion est E.
Quelle relation définit la classe d'équivalence sur E=Z×Z* ?
(p,q)R(p′,q′) si pq′=p′q.
Que regroupe la classe d'équivalence de (p,q) dans E=Z×Z* ?
Les couples représentant le même quotient p/q.
Qu'est-ce qu'un nombre rationnel selon la définition donnée ?
Une classe d'équivalence d'un couple (p,q) dans Z×Z*.
Comment note-t-on un nombre rationnel par abus de langage ?
Par p/q.
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1. Quelle caractéristique distingue une proposition mathématique d’une simple expression ?
2. Quelle différence fondamentale distingue un axiome d’une proposition démontrée ?
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