Fiche de révision : Expression mathématique et logique

📋 Plan du Cours

1. Propositions et valeurs logiques
2. Opérations logiques fondamentales
3. Raisonnements par contraposée et absurdité
4. Ensembles et opérations ensemblistes
5. Quantificateurs et équivalences
6. Négations et quantificateurs
7. Implications et raisonnements
8. Opérations sur les ensembles
9. Relations et classes d’équivalence

📖 1. Propositions et valeurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé sur des objets mathématiques auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse, selon le principe du tiers exclu.
• Négation : Vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie ; elle se note aussi $\neg P$.

📝 Points essentiels

📌 Un axiome est une vérité première qui ne se déduit pas d’autres propositions, tandis qu’une proposition démontrée est obtenue par déduction à partir d’axiomes ou de propositions déjà établies.

💡 Astuce mémo

Vraie ou fausse : le tiers exclu

📖 2. Opérations logiques fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Disjonction : Vraie si au moins l’une des deux propositions est vraie et fausse si les deux propositions sont fausses ; elle se note aussi $P\lor Q$.
• Conjonction : Vraie si les deux propositions sont vraies et fausse si au moins l’une des deux est fausse ; elle se note aussi $P\land Q$.
• Équivalence : L’équivalence $P\Leftrightarrow Q$ est vraie lorsque P et Q ont simultanément la même valeur logique, vraie ou fausse.
• Implication logique : L’implication logique $P\Rightarrow Q$ est fausse dans le seul cas où P est vraie et Q est fausse, et elle est équivalente à $(\neg P)\lor Q$.

📝 Points essentiels

📌 La négation d’une implication vérifie $\neg(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow P\land(\neg Q)$.

💡 Astuce mémo

Ou accepte au moins une vérité ; et exige les deux

📖 3. Raisonnements par contraposée et absurdité

★ À maîtriser

• Pour démontrer une implication par contraposée, on démontre l’implication équivalente selon laquelle la fausseté de Q entraîne la fausseté de P.

• Pour démontrer une proposition R par l’absurde, on suppose R fausse puis on déduit une contradiction ou un résultat faux.

• Pour montrer qu’il n’existe pas de plus petit réel strictement positif, on suppose qu’un tel réel a existe, puis $0<\frac a2<a$ contredit sa minimalité.

Compléments

• Si n est un entier impair, alors son chiffre des unités est impair ; par contraposée, un chiffre des unités pair permet de conclure que n est pair.

💡 Astuce mémo

Négation de la conclusion → négation de l’hypothèse ; contraire supposé → contradiction

📖 4. Ensembles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés éléments, et pour chaque objet x une seule des deux propositions $x\in E$ ou $x\notin E$ est vraie.
• Intersection : L’intersection $A\cap B$ est l’ensemble des éléments communs à A et B, avec $x\in A\cap B\Leftrightarrow(x\in A)\land(x\in B)$.
• Union : L’union $A\cup B$ est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B, avec $x\in A\cup B\Leftrightarrow(x\in A)\lor(x\in B)$.
• Complémentaire : Ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Fonction indicatrice : La fonction indicatrice de A relativement à E vaut $1_A(x)=1$ si $x\in A$ et $1_A(x)=0$ si $x\notin A$.
• Produit cartésien : Le produit cartésien E×F est constitué des couples (x,y) avec x dans E et y dans F, et deux couples sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales.

📝 Points essentiels

📌 Une partie A de E vérifie $A\subset E$, c’est-à-dire que tout élément de A appartient à E ; l’égalité de deux ensembles se démontre par double inclusion.

📐 Formule — Pour un ensemble fini E de cardinal n, le nombre de ses parties vérifie $\operatorname{card}(\mathcal P(E))=2^n$.

💡 Astuce mémo

Des éléments rangés dans des boîtes, avec intersection, union et complément

📖 5. Quantificateurs et équivalences

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel $\forall x\in E,\ P(x)$ signifie que la propriété P(x) est vraie pour tous les éléments de E.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel $\exists x\in E,\ P(x)$ signifie qu’au moins un élément de E vérifie P(x), tandis que $\exists!x\in E,\ P(x)$ signifie qu’un unique élément la vérifie.
• Relation d’équivalence : Une relation d’équivalence sur E est une relation réflexive, symétrique et transitive.

📝 Points essentiels

📌 L’ordre des quantificateurs peut changer le sens : $\exists x\,\forall y\,P(x,y)$ n’a pas le même sens que $\forall y\,\exists x\,P(x,y)$.

📌 La négation d’un énoncé universel devient un énoncé existentiel, selon $\neg(\forall x\in E,\ P(x))\Leftrightarrow\exists a\in E,\ \neg P(a)$.

💡 Astuce mémo

∀ parle de tous, ∃ d’au moins un

📖 6. Négations et quantificateurs

📝 Points essentiels

• Les propositions ∀x∈E, (P(x) ou Q(x)) et (∀x∈E, P(x)) ou (∀x∈E, Q(x)) ne sont pas équivalentes : la seconde implique la première, mais pas réciproquement.

• La proposition ∃x∈E, (P(x) et Q(x)) implique (∃a∈E, P(a)) et (∃b∈E, Q(b)), mais la réciproque est fausse car a et b peuvent être différents.

• La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe au moins un x tel que non P(x) ».

• La négation de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, non P(x) ».

• La négation de « P et Q » est « non P ou non Q », tandis que la négation de « P ou Q » est « non P et non Q ».

• La négation de l’implication P ⇒ Q est P et non Q.

💡 Astuce mémo

Pour tout ↔ il existe un contre-exemple ; il existe ↔ tous échouent

📖 7. Implications et raisonnements

★ À maîtriser

📌 Une implication P ⇒ Q est équivalente à sa contraposée non Q ⇒ non P et à la proposition non P ou Q.

• Un raisonnement par récurrence établit d’abord l’initialisation, puis l’hérédité, c’est-à-dire que P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie.

• La proposition ∀x∈R, ∃y∈R tel que x+y=0 est vraie avec y=-x, tandis que ∃y∈R, ∀x∈R, x+y=0 est fausse.

Compléments

• Pour démontrer une existence de manière constructive, il faut exhiber explicitement un élément qui vérifie la propriété.

• Si a et b sont réels avec a<b, le réel $c=a+\frac{b-a}{2}$ vérifie a<c<b.

💡 Astuce mémo

Hypothèse → conséquence ; contraposée : non-conséquence → non-hypothèse

📖 8. Opérations sur les ensembles

★ À maîtriser

📌 Pour toute propriété P, si AP={x∈E | P(x)}, alors P⇒Q équivaut à AP⊂AQ, A(P ou Q)=AP∪AQ, A(P et Q)=AP∩AQ et A(non P)=complémentaire de AP.

📌 Pour des ensembles A,B,C,D, on a (A×C)∩(B×D)=(A∩B)×(C∩D), mais l’union (A×C)∪(B×D) n’est pas toujours égale à (A∪B)×(C∪D).

Compléments

• L’ensemble des parties de E={1,2,3} est constitué de l’ensemble vide, des trois singletons, des trois parties à deux éléments et de E, soit 8 parties.

📐 Formule — La fonction indicatrice de la différence symétrique vérifie $1_{A\triangle B}=1_A+1_B-2\,1_A1_B$.

💡 Astuce mémo

Visualiser les ensembles comme des zones qui s’unissent, s’intersectent ou se complètent

📖 9. Relations et classes d’équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe d’équivalence : Ensemble des éléments équivalents à a pour une relation d’équivalence R, soit \hat a={x∈E | xRa}.
• Ensemble quotient : Ensemble constitué des classes d’équivalence des éléments de E.
• Nombre rationnel : Classe d’équivalence d’un couple (p,q)∈Z×Z* ; elle se note, par abus de langage, p/q.

📝 Points essentiels

• Les classes d’équivalence d’une relation d’équivalence forment une partition de E : elles sont deux à deux disjointes et leur réunion est E.

• Sur E=Z×Z* défini par (p,q)R(p′,q′) si pq′=p′q, la classe de (p,q) regroupe les couples représentant le même quotient p/q.

💡 Astuce mémo

Relation d’équivalence → classes disjointes → partition de l’ensemble

📊 Tableaux de synthèse

Opérations logiques

Quantificateurs et négations