QCM : Expression mathématique et logique — 30 questions

Explication

Une proposition est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer la valeur vraie ou la valeur fausse. Une simple expression, comme une formule contenant des variables non précisées, ne possède pas forcément une valeur de vérité.

Explication

Un axiome est une vérité première admise sans être déduite d’autres propositions, tandis qu’une proposition démontrée repose sur des axiomes ou des résultats déjà établis. Dire qu’un axiome est obtenu par des calculs confond son statut avec celui d’un théorème.

Explication

La négation inverse la valeur de vérité de la proposition initiale : elle est vraie lorsque $P$ est fausse et fausse lorsque $P$ est vraie. Elle ne fait donc pas intervenir une troisième valeur logique.

Explication

La disjonction inclusive est vraie dès qu’au moins une des deux propositions est vraie ; elle devient fausse lorsque les deux sont fausses. Le cas où une seule proposition est vraie rend donc la disjonction vraie.

Explication

Une conjonction exige que ses deux composantes soient vraies simultanément. La condition « au moins l’une est vraie » décrit plutôt la disjonction.

Explication

L’équivalence est vraie lorsque les deux propositions ont simultanément la même valeur de vérité, qu’elles soient toutes deux vraies ou toutes deux fausses. Elle ne requiert donc pas qu’elles soient toutes deux vraies.

Explication

Une implication est fausse dans le seul cas où son antécédent $P$ est vrai alors que sa conclusion $Q$ est fausse. Les trois autres combinaisons donnent une implication vraie.

Explication

La contraposée de $P\Rightarrow Q$ est $\neg Q\Rightarrow\neg P$, et elle lui est logiquement équivalente. L’implication $\neg P\Rightarrow\neg Q$ est l’inverse et ne possède pas cette équivalence générale.

Explication

Une preuve par l’absurde suppose la fausseté de $R$, puis conduit à une contradiction ou à un résultat faux ; cette impossibilité permet de conclure que $R$ est vraie. Vérifier une conséquence particulière ne constitue pas, en soi, un raisonnement par l’absurde.

Explication

Si $a$ était le plus petit réel strictement positif, alors $\frac a2$ serait encore strictement positif tout en étant inférieur à $a$, ce qui contredirait sa minimalité. Le nombre $\frac a2$ n’est pas négatif lorsque $a$ est strictement positif.

Explication

Chaque objet est soit élément de $E$, soit non-élément de $E$. L’inclusion concerne des ensembles, tandis que l’appartenance concerne un objet particulier.

Explication

Deux ensembles sont égaux lorsque chacun est inclus dans l’autre, ce qui constitue la double inclusion. Un élément commun ou une propriété concernant l’univers ne suffit pas à établir cette égalité.

Explication

L’intersection regroupe les éléments communs aux deux ensembles : l’appartenance à $A\cap B$ équivaut à la conjonction des appartenances à $A$ et à $B$. La condition « ou » caractérise l’union.

Explication

Le nombre de parties d’un ensemble de cardinal $n$ vaut $2^n$ ; ici, $2^5=32$. Les autres valeurs correspondent à d’autres opérations numériques et non au nombre de parties.

Explication

Le quantificateur universel affirme que tous les éléments de $E$ vérifient la propriété. L’existence d’un élément ou d’un élément unique relève des quantificateurs existentiels.

Explication

$\exists$ signifie qu’au moins un élément vérifie la propriété, alors que $\exists!$ impose qu’un unique élément la vérifie. Le quantificateur universel est $\forall$, et non $\exists$.

Explication

Dans le premier énoncé, un élément $x$ doit convenir à tous les $y$. Dans le second, chaque $y$ peut avoir son propre témoin $x$, ce qui rend les deux formulations distinctes.

Explication

Une relation d’équivalence possède les trois propriétés suivantes : réflexivité, symétrie et transitivité. L’antisymétrie et la totalité interviennent dans d’autres types de relations.

Explication

La négation d’une propriété vraie pour tous les éléments affirme qu’il existe au moins un contre-exemple. Elle ne signifie pas que la propriété est fausse pour chaque élément.

Explication

Dire qu’aucun élément ne vérifie $P$ revient à dire que chaque élément vérifie $\neg P$. Une simple existence d’un contre-exemple ne constitue pas la négation complète de l’énoncé existentiel.

Explication

La négation d’une conjonction est une disjonction des négations, selon les lois de De Morgan. L’expression $\neg P\land\neg Q$ nie plutôt l’énoncé $P\lor Q$.

Explication

Une implication est équivalente à sa contraposée, qui inverse l’ordre des propositions et nie chacune d’elles. La proposition $Q\Rightarrow P$ est sa réciproque, et non une forme équivalente en général.

Explication

Une récurrence commence par vérifier la propriété à un rang de départ, puis montre que sa validité au rang $n$ entraîne sa validité au rang $n+1$. L’hérédité ne remplace donc pas la vérification initiale.

Explication

Pour chaque réel $x$, le choix $y=-x$ vérifie $x+y=0$. En revanche, un même réel $y$ ne peut pas annuler simultanément tous les réels $x$.

Explication

Un élément satisfait $P$ et $Q$ lorsqu’il appartient aux deux ensembles, ce qui correspond à leur intersection. L’union représente la disjonction $P$ ou $Q$.

Explication

Un couple appartient à l’intersection lorsque sa première composante appartient à $A\cap B$ et sa seconde à $C\cap D$. Les unions des composantes ne décrivent pas la condition simultanée imposée par l’intersection.

Explication

La classe de $a$ rassemble les éléments de $E$ qui sont équivalents à $a$ selon $R$. Elle peut contenir plusieurs éléments, et ne se réduit donc pas forcément au singleton $\{a\}$.

Explication

L’ensemble quotient regroupe les classes d’équivalence déterminées par la relation sur $E$. Il ne s’agit donc pas de l’ensemble des couples définissant la relation ni d’un ensemble de compléments.

Explication

Les classes d’équivalence sont deux à deux disjointes et leur réunion est l’ensemble $E$$, ce qui constitue une partition. Deux classes qui partagent un élément sont au contraire nécessairement égales.

Explication

La condition $pq'=p'q$ exprime l’égalité des quotients $p/q=p'/q'$, donc la classe de $(2,3)$ regroupe les représentants de $2/3$. Elle ne dépend pas d’une égalité des produits ou des sommes des coordonnées.