Fiche de révision : Factorisation des expressions

📋 Plan du Cours

1. Principe de la factorisation
2. Méthode de factorisation en sept étapes
3. Identités remarquables
4. Recherche du facteur commun
5. Factorisation avec parenthèses
6. Factorisations successives
7. Pièges et vérification

📖 1. Principe de la factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : La factorisation transforme une somme ou une différence en produit.

📝 Points essentiels

📌 Développer transforme un produit en somme, tandis que factoriser transforme une somme en produit.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait le chemin inverse.

📖 2. Méthode de factorisation en sept étapes

📝 Points essentiels

• Pour factoriser une expression, on délimite les blocs séparés par + ou − en rattachant chaque signe au bloc qui suit, on cherche un facteur commun, puis à défaut une identité remarquable, on met le facteur commun en tête et le reste entre parenthèses, on recommence si possible et on vérifie en développant.

💡 Astuce mémo

Délimiter → chercher → factoriser → vérifier.

📖 3. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule - Le carré d’une somme vérifie $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

📐 Formule - Le carré d’une différence vérifie $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

📐 Formule - La différence de deux carrés vérifie $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

Compléments

• Pour reconnaître les valeurs a et b dans une identité remarquable, on prend les racines des deux termes carrés ; ainsi, dans 16x², la racine est 4x.

💡 Astuce mémo

Carré somme : + au milieu ; carré différence : − au milieu ; carrés séparés : produit de deux conjugués.

📖 4. Recherche du facteur commun

★ À maîtriser

• Dans 6x + 12, le facteur commun 6 donne 6x + 12 = 6(x + 2).

• Dans 4x² + 8x, le plus grand facteur commun est 4x, donc 4x² + 8x = 4x(x + 2).

Compléments

• Dans x² + x, mettre x en facteur donne x(x + 1) ; le terme x laissé dans le crochet a pour coefficient 1.

📖 5. Factorisation avec parenthèses

★ À maîtriser

• Pour factoriser (x − 2)(3x + 1) − (x − 2)(x + 4), on met (x − 2) en facteur, puis on simplifie le crochet en tenant compte du signe − devant la seconde parenthèse, ce qui donne (x − 2)(2x − 3).

Compléments

📌 Un signe − placé devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l’intérieur, par exemple −(x + 4) = −x − 4.

📖 6. Factorisations successives

★ À maîtriser

• Pour factoriser 2x² − 18, on met d’abord 2 en facteur, puis on utilise x² − 9 = (x − 3)(x + 3), ce qui donne 2(x − 3)(x + 3).

Compléments

• Une somme de deux carrés comme x² + 9 ne se factorise pas à l’aide des trois identités remarquables présentées.

📖 7. Pièges et vérification

★ À maîtriser

📌 Après une factorisation, on vérifie le résultat en le développant et en contrôlant qu’on retrouve l’expression de départ.

Compléments

• La correction de 25x² − 20x + 4 est (5x − 2)².

• La correction de (3x − 1)² − 16 est (3x − 5)(3x + 3), puis 3(3x − 5)(x + 1).