Fiche de révision : Factorisation et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Révision des opérations algébriques
2. Rapports d’aires et de volumes
3. Moyenne et division polynomiale
4. Résolution par factorisation
5. Contraintes sur les solutions géométriques
6. Simplification des fractions rationnelles
7. Volumes et dimensions de solides

📖 1. Révision des opérations algébriques

📝 Points essentiels

• La préparation au chapitre porte notamment sur la factorisation, les fractions rationnelles, la résolution d’équations du second degré par factorisation et la complétion du carré.

📖 2. Rapports d’aires et de volumes

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de rectangles A contenus dans B se calcule par le rapport $\frac{A_B}{A_A}$.

📐 Formule - Le nombre de contenants A nécessaires pour remplir B se calcule par le rapport $\frac{V_B}{V_A}$.

Compléments

• Pour des rectangles d’aires $A_A=x(3x+4)$ et $A_B=3x(5x+7)(3x+4)$, le rapport des aires se réduit à $15x+21$, sous les restrictions $x\ne0$ et $x\ne-\frac43$.

• Pour les contenants de volumes $V_A=4x(x+2)$ et $V_B=20x(x+2)(3x+1)$, le rapport vaut $15x+5$, sous les restrictions $x\ne0$ et $x\ne-2$.

📖 3. Moyenne et division polynomiale

★ À maîtriser

• La moyenne de points par partie se calcule en additionnant les buts et les passes, puis en divisant le total par le nombre de parties.

Compléments

• La moyenne de points $\frac{(50y^2-19y+6)+(6y^2+2y-9)}{8y+1}$ se réduit à $7y-3$, avec la restriction $y\ne-\frac18$.

• La division par crochet et la factorisation par mise en évidence peuvent toutes deux réduire le quotient de polynômes présenté dans l’exemple de moyenne.

📖 4. Résolution par factorisation

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du second degré par factorisation, on développe et réduit l’équation à zéro, on factorise, puis on résout chaque facteur en appliquant le produit nul.

Compléments

• L’équation $(x-3)(x-4)=3x+12$ a pour solutions $x=0$ et $x=10$.

💡 Astuce mémo

Développer, réduire à zéro, factoriser, puis appliquer le produit nul.

📖 5. Contraintes sur les solutions géométriques

★ À maîtriser

📌 Dans un problème de dimensions réelles, une solution algébrique qui donne une longueur négative doit être rejetée.

Compléments

• Pour une aire de rectangle $12\,\text{m}^2$ donnée par $(x+1)(10x+3)$, la solution $x=-1{,}8$ est rejetée et $x=\frac12$ donne les dimensions $8\,\text{m}$ par $1{,}5\,\text{m}$.

📌 Pour le côté $c=8x-3$ d’un carré, la contrainte $c\ge0$ impose $x\ge\frac38$.

💡 Astuce mémo

Une racine algébrique peut être rejetée si elle produit une longueur négative.

📖 6. Simplification des fractions rationnelles

★ À maîtriser

• Pour simplifier une différence de fractions rationnelles, on factorise les numérateurs et les dénominateurs, on annule les facteurs communs, puis on soustrait les fractions de même dénominateur.

Compléments

• L’expression $\frac{-7x^2+15x+18}{2x^3-6x^2}-\frac{9x^2-25}{6x^3-10x^2}$ se réduit à $\frac{-10x-11}{2x^2}$, avec $x\ne0$, $x\ne3$ et $x\ne\frac53$.

📖 7. Volumes et dimensions de solides

★ À maîtriser

📐 Formule - Le volume d’un prisme droit se calcule par $V=A_BH$.

Compléments

📐 Formule - Pour un prisme droit à base carrée de côté $c$, le volume vérifie $V=c^2H$.

• Un aquarium de volume $16\,820\,\text{cm}^3$ et de hauteur $20\,\text{cm}$, dont le côté de base vaut $8x-3$, a pour côté $29\,\text{cm}$.