QCM : Fonction exponentielle : définitions et propriétés — 13 questions

Question 1

1. Quelle est la caractérisation de la fonction exponentielle ?

C’est toute fonction dérivable sur ℝ vérifiant f'(x)=x et f(0)=1

C’est la fonction dérivable sur ℝ qui s’annule en 0 et dont la dérivée vaut 0

C’est l’unique fonction continue sur ℝ dont la dérivée est constante égale à 1

C’est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée soit égale à elle-même et que sa valeur en 0 soit 1

Explication

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f'=f et exp(0)=1. Les autres propositions confondent cette définition avec celle d’une fonction affine ou avec une condition erronée sur la dérivée.

Answer

C’est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée soit égale à elle-même et que sa valeur en 0 soit 1

Question 2

2. Que peut-on conclure d’une fonction dérivable f sur ℝ vérifiant f'=f et f(0)=1 ?

Elle est nécessairement périodique

Elle est forcément strictement décroissante

Elle peut s’annuler en certains points de ℝ

Elle ne s’annule jamais sur ℝ

Explication

Le cours indique que toute fonction vérifiant f'=f et f(0)=1 ne s’annule jamais sur ℝ. Cela exclut l’existence de zéros et rend fausses les autres affirmations.

Answer

Elle ne s’annule jamais sur ℝ

Question 3

3. Quelle relation est une conséquence directe de la définition de la fonction exponentielle ?

exp'(x)=x·exp(x) pour tout réel x

exp'(x)=exp(x) pour tout réel x

exp(x) est toujours négative

exp(0)=0 pour tout réel x

Explication

La dérivée de l’exponentielle coïncide avec la fonction elle-même sur tout ℝ. En revanche, le facteur x n’apparaît pas dans cette dérivée, et exp(0)=1.

Answer

exp'(x)=exp(x) pour tout réel x

Question 4

4. Quelle propriété vaut pour tout réel x concernant la valeur de l’exponentielle ?

exp(x) est toujours inférieure ou égale à 1

exp(x) est égale à x pour tout x

exp(x) peut être nulle pour certains x

exp(x) est strictement positive

Explication

Le cours précise que exp(x) ne s’annule jamais et qu’elle est toujours strictement positive. Cela exclut la nullité et les bornes fixes proposées dans les autres réponses.

Answer

exp(x) est strictement positive

Question 5

5. Si g(x)=exp(ax+b) avec a et b réels, quelle est sa dérivée ?

g'(x)=(a+b)×exp(ax+b)

g'(x)=exp(ax+b)

g'(x)=b×exp(ax+b)

g'(x)=a×exp(ax+b)

Explication

Pour une exponentielle d’argument affine, la dérivée conserve l’exponentielle et multiplie par le coefficient directeur a. Le terme b ne devient pas un facteur multiplicatif.

Answer

g'(x)=a×exp(ax+b)

Question 6

6. Quelle est la dérivée de g(x)=exp(2x+5) ?

(2x+5)×exp(2x+5)

exp(2x+5)

2×exp(2x+5)

5×exp(2x+5)

Explication

En appliquant la règle de dérivation de exp(ax+b), on obtient g'(x)=a×exp(ax+b), donc ici 2×exp(2x+5). Le 5 joue seulement le rôle de constante dans l’argument.

Answer

2×exp(2x+5)

Question 7

7. Quelle propriété relie exp(x+y) aux exponentielles séparées ?

exp(x+y)=exp(x−y)

exp(x+y)=exp(x)/exp(y)

exp(x+y)=exp(x)×exp(y)

exp(x+y)=exp(x)+exp(y)

Explication

L’exponentielle transforme une somme en produit : exp(x+y)=exp(x)exp(y). Les autres propositions confondent cette propriété avec l’addition, la division ou la différence.

Answer

exp(x+y)=exp(x)×exp(y)

Question 8

8. Quelle égalité est correcte pour tout réel x et tout entier relatif n ?

exp(nx)=exp(x^n)

exp(nx)=[exp(x)]^n

exp(nx)=n×exp(x)

exp(nx)=exp(x)+n

Explication

Le cours donne la règle exp(nx)=[exp(x)]^n pour tout entier relatif n. Il ne s’agit ni d’une addition, ni d’une multiplication par n, ni d’une puissance portant sur x.

Answer

exp(nx)=[exp(x)]^n

Question 9

9. Comment définit-on le nombre e ?

Comme exp(0)

Comme la dérivée de exp en 0

Comme l’inverse de exp(1)

Comme exp(1)

Explication

Le nombre e est défini par e=exp(1). Le cours rappelle aussi qu’il est approximativement égal à 2,72.

Answer

Comme exp(1)

Question 10

10. Quel est le sens de variation de la fonction exponentielle sur ℝ ?

Elle est constante

Elle est strictement croissante

Elle est strictement décroissante

Elle croît seulement sur les positifs

Explication

Comme sa dérivée vaut e^x et que e^x>0 pour tout réel x, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Les autres propositions contredisent ce signe de la dérivée.

Answer

Elle est strictement croissante

Question 11

11. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe y=e^x au point d’abscisse 0 ?

y=x+1

y=e x

y=x

y=1

Explication

Au point A(0;1), on a e^0=1 et la pente vaut e^0=1, donc la tangente a pour équation y=x+1. L’équation y=1 ne serait qu’une droite horizontale.

Answer

(uv)'=u'v+uv'

Answer

Le signe de sa dérivée sur l’intervalle

Question 12

12. Dans la dérivation d’un produit uv, quelle formule faut-il utiliser ?

(uv)'=u+v

(uv)'=u'v+uv'

(uv)'=u'v-uv'

(uv)'=u'v'

Explication

La dérivée d’un produit est donnée par la règle (uv)'=u'v+uv'. C’est la formule utilisée dans les exercices d’application du cours.

Question 13

13. Pour étudier le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle, que faut-il regarder ?

Le signe de la fonction elle-même uniquement

Le signe de sa dérivée sur l’intervalle

La limite de la fonction en l’infini

Sa valeur en un seul point de l’intervalle

Explication

Le cours rappelle que le sens de variation se déduit du signe de la dérivée sur l’intervalle étudié. La valeur en un point ou la seule limite à l’infini ne suffit pas.

QCM : Fonction exponentielle : définitions et propriétés — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la caractérisation de la fonction exponentielle ?

2. Que peut-on conclure d’une fonction dérivable f sur ℝ vérifiant f'=f et f(0)=1 ?

3. Quelle relation est une conséquence directe de la définition de la fonction exponentielle ?

4. Quelle propriété vaut pour tout réel x concernant la valeur de l’exponentielle ?

5. Si g(x)=exp(ax+b) avec a et b réels, quelle est sa dérivée ?

6. Quelle est la dérivée de g(x)=exp(2x+5) ?

7. Quelle propriété relie exp(x+y) aux exponentielles séparées ?

8. Quelle égalité est correcte pour tout réel x et tout entier relatif n ?

9. Comment définit-on le nombre e ?

10. Quel est le sens de variation de la fonction exponentielle sur ℝ ?

11. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe y=e^x au point d’abscisse 0 ?

12. Dans la dérivation d’un produit uv, quelle formule faut-il utiliser ?

13. Pour étudier le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle, que faut-il regarder ?

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