QCM : Fonction exponentielle : propriétés et applications — 18 questions

Question 1

1. Quelles conditions caractérisent l’unique fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

Être positive, vérifier

f(x+y)=f(x)+f(y)

et

f(1)=1

Être dérivable, vérifier

f'(x)=f(x)

et

f(0)=1

Être dérivable, vérifier

f'(x)=1

et

f(0)=e

Être continue, vérifier

f'(x)=-f(x)

et

f(0)=0

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est elle-même et qui vaut 1 en 0. Les autres propositions modifient la condition sur la dérivée ou la valeur initiale.

Answer

Être dérivable, vérifier $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$

Question 2

2. Que garantit l’unicité de la fonction exponentielle ?

Il existe une seule fonction dérivable sur

\mathbb{R}

telle que

f'=f

et

f(0)=1

Toute fonction vérifiant

f'=f

est nécessairement constante

La fonction exponentielle est définie uniquement sur

\mathbb{R}^+

Il existe deux fonctions différentes ayant la même dérivée et la même valeur en 0

Explication

L’unicité signifie qu’il n’existe pas deux fonctions différentes satisfaisant simultanément $f'=f$ et $f(0)=1$ . Cela distingue la fonction exponentielle de simples solutions sans condition initiale.

Answer

Il existe une seule fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$

Question 3

3. Quelle identité relie l’exponentielle d’une somme à un produit ?

\exp(x+y)=\exp(x)/\exp(y)

\exp(x+y)=\exp(x)\,\exp(y)

\exp(x+y)=\exp(x)+\exp(y)

\exp(x+y)=\exp(x-y)

Explication

L’exponentielle transforme une somme en produit : $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ . La somme des arguments ne devient donc pas une somme des valeurs.

Answer

$\exp(x+y)=\exp(x)\,\exp(y)$

Question 4

4. Comment peut-on écrire $\exp(x-y)$ ?

\exp(x)\,\exp(y)

\exp(x)+\exp(y)

\exp(x)/\exp(y)

\exp(y)/\exp(x)

Explication

On a $\exp(x-y)=\exp(x)\exp(-y)=\exp(x)/\exp(y)$ . C’est la différence d’exposants qui correspond à un quotient.

Answer

$\exp(x)/\exp(y)$

Question 5

5. Que vaut $(\exp(x))^n$ pour un entier naturel $n$ ?

\exp(x+n)

n\,\exp(x)

\exp(x^n)

\exp(nx)

Explication

La puissance « remonte » dans l’exposant : $(\exp(x))^n=\exp(nx)$ . Ce n’est ni une addition avec $n$ , ni une multiplication par $n$ devant l’exponentielle.

Answer

$\exp(nx)$

Question 6

6. Que désigne la constante $e$ ?

e=\exp(2)

e=\exp(-1)

e=\exp(0)

e=\exp(1)

Explication

La constante d’Euler est définie par $e=\exp(1)$ . On écrit alors $\exp(x)$ sous la forme $e^x$ .

Answer

$e=\exp(1)$

Question 7

7. Quelle propriété est vraie pour tous réels $a$ et $b$ ?

e^{a+b}=e^a/e^b

e^{a+b}=e^a\,e^b

e^{a+b}=e^{ab}

e^{a+b}=e^a+e^b

Explication

L’exponentielle d’une somme se traduit par un produit : $e^{a+b}=e^a e^b$ . C’est une propriété algébrique fondamentale de la notation $e^x$ .

Answer

$e^{a+b}=e^a\,e^b$

Question 8

8. Que vaut $(e^a)^n$ pour $a\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$ ?

n e^a

e^{na}

e^{a/n}

e^{a+n}

Explication

La règle des puissances donne $(e^a)^n=e^{na}$ . L’exposant se multiplie par $n$ , il ne s’additionne pas.

Answer

$e^{na}$

Question 9

9. Quelle est l’ensemble des solutions de $e^x=e^a$ ?

x=e^a

x=a

x=a+1

x=0

Explication

La fonction exponentielle étant injective, $e^x=e^a$ équivaut à $x=a$ . On compare donc directement les exposants.

Answer

$x\ge a$

Answer

Strictement positif

Answer

Elle est strictement croissante

Answer

$a\,e^{ax+b}$

Answer

$(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}$

Answer

Elle décroît si $k<0$ et croît si $k>0$

Answer

Elle est géométrique de raison $e^a$

Question 10

10. Quelle inéquation est équivalente à $e^x\ge e^a$ ?

x\ge a

x=a

x<a

x\le a

Explication

Comme l’exponentielle est strictement croissante, elle conserve l’ordre : $e^x\ge e^a\iff x\ge a$ . Le sens de l’inégalité ne s’inverse pas.

Question 11

11. Quel est le signe de $e^x$ pour tout réel $x$ ?

Nul pour

x=0

seulement

Positif seulement pour

x\ge 0

Strictement positif

Strictement négatif

Explication

On a toujours $e^x>0$ sur $\mathbb{R}$ , notamment parce que $e^x=(e^{x/2})^2$ . L’exponentielle n’est donc jamais nulle ni négative.

Question 12

12. Quelle propriété de variation possède la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

Elle est strictement décroissante

Elle est strictement croissante

Elle est constante

Elle est décroissante puis croissante

Explication

La dérivée de $e^x$ est $e^x$ , et comme cette dérivée est positive partout, la fonction est strictement croissante. Elle conserve donc l’ordre des réels.

Question 13

13. Quelle est la dérivée de $e^{ax+b}$ ?

e^{ax+b}

a\,e^{ax+b}

(ax+b)e^{ax+b}

(a+b)e^{ax+b}

Explication

Par la règle de dérivation, on multiplie par la dérivée de l’exposant $ax+b$ , qui vaut $a$ . On obtient donc $(e^{ax+b})'=a e^{ax+b}$ .

Question 14

14. Si $u$ est dérivable, quelle formule donne la dérivée de $e^{u(x)}$ ?

(e^{u(x)})'=e^{u(x)}

(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}

(e^{u(x)})'=u(x)e^{u(x)}

(e^{u(x)})'=u'(x)+e^{u(x)}

Explication

La règle de chaîne donne $(e^u)'=u' e^u$ . La dérivée de l’exposant apparaît comme facteur multiplicatif.

Question 15

15. Quel est l’effet du signe de $k$ sur la fonction $x\mapsto e^{kx}$ ?

Elle croît seulement pour

k=0

Elle décroît si

k<0

et croît si

k>0

Elle croît si

k<0

et décroît si

k>0

Elle est toujours constante

Explication

L’allure de $e^{kx}$ dépend du signe de $k$ : si $k>0$ , la fonction croît, et si $k<0$ , elle décroît. Le cas $k=0$ donne une fonction constante.

Question 16

16. Quelle valeur repère correspond à $e^1$ ?

e

0

2,7 exactement

1

Explication

On a $e^1=e$ . La valeur approchée de $e$ est autour de 2,72, mais $e^1$ désigne exactement la constante $e$ .

Question 17

17. Pour $u_n=e^{an}$ , quel est le rapport $u_{n+1}/u_n$ ?

e^{n+1}

e^a

a

e^{an}

Explication

On calcule $u_{n+1}=e^{a(n+1)}$ puis $u_{n+1}/u_n=e^a$ . Le rapport est donc constant, ce qui montre que la suite est géométrique.

Question 18

18. Quelle nature possède la suite $u_n=e^{an}$ ?

Elle est arithmétique de raison

a

Elle est géométrique de raison

a^n

Elle est constante de valeur

e^a

Elle est géométrique de raison

e^a

Explication

La suite vérifie $u_{n+1}/u_n=e^a$ , donc elle est géométrique de raison $e^a$ . Ce n’est pas une suite arithmétique car la différence des termes n’est pas constante.

QCM : Fonction exponentielle : propriétés et applications — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles conditions caractérisent l’unique fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

2. Que garantit l’unicité de la fonction exponentielle ?

3. Quelle identité relie l’exponentielle d’une somme à un produit ?

4. Comment peut-on écrire $\exp(x-y)$ ?

5. Que vaut $(\exp(x))^n$ pour un entier naturel $n$ ?

6. Que désigne la constante $e$ ?

7. Quelle propriété est vraie pour tous réels $a$ et $b$ ?

8. Que vaut $(e^a)^n$ pour $a\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$ ?

9. Quelle est l’ensemble des solutions de $e^x=e^a$ ?

10. Quelle inéquation est équivalente à $e^x\ge e^a$ ?

11. Quel est le signe de $e^x$ pour tout réel $x$ ?

12. Quelle propriété de variation possède la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

13. Quelle est la dérivée de $e^{ax+b}$ ?

14. Si $u$ est dérivable, quelle formule donne la dérivée de $e^{u(x)}$ ?

15. Quel est l’effet du signe de $k$ sur la fonction $x\mapsto e^{kx}$ ?

16. Quelle valeur repère correspond à $e^1$ ?

17. Pour $u_n=e^{an}$ , quel est le rapport $u_{n+1}/u_n$ ?

18. Quelle nature possède la suite $u_n=e^{an}$ ?

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Crée tes propres QCM

QCM : Fonction exponentielle : propriétés et applications — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelles conditions caractérisent l’unique fonction exponentielle sur R\mathbb{R}R ?

2. Que garantit l’unicité de la fonction exponentielle ?

3. Quelle identité relie l’exponentielle d’une somme à un produit ?

4. Comment peut-on écrire exp⁡(x−y)\exp(x-y)exp(x−y) ?

5. Que vaut (exp⁡(x))n(\exp(x))^n(exp(x))n pour un entier naturel nnn ?

6. Que désigne la constante eee ?

7. Quelle propriété est vraie pour tous réels aaa et bbb ?

8. Que vaut (ea)n(e^a)^n(ea)n pour a∈Ra\in\mathbb{R}a∈R et n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N ?

9. Quelle est l’ensemble des solutions de ex=eae^x=e^aex=ea ?

10. Quelle inéquation est équivalente à ex≥eae^x\ge e^aex≥ea ?

11. Quel est le signe de exe^xex pour tout réel xxx ?

12. Quelle propriété de variation possède la fonction exponentielle sur R\mathbb{R}R ?

13. Quelle est la dérivée de eax+be^{ax+b}eax+b ?

14. Si uuu est dérivable, quelle formule donne la dérivée de eu(x)e^{u(x)}eu(x) ?

15. Quel est l’effet du signe de kkk sur la fonction x↦ekxx\mapsto e^{kx}x↦ekx ?

16. Quelle valeur repère correspond à e1e^1e1 ?

17. Pour un=eanu_n=e^{an}un​=ean, quel est le rapport un+1/unu_{n+1}/u_nun+1​/un​ ?

18. Quelle nature possède la suite un=eanu_n=e^{an}un​=ean ?

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1. Quelles conditions caractérisent l’unique fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

4. Comment peut-on écrire $\exp(x-y)$ ?

5. Que vaut $(\exp(x))^n$ pour un entier naturel $n$ ?

6. Que désigne la constante $e$ ?

7. Quelle propriété est vraie pour tous réels $a$ et $b$ ?

8. Que vaut $(e^a)^n$ pour $a\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$ ?

9. Quelle est l’ensemble des solutions de $e^x=e^a$ ?

10. Quelle inéquation est équivalente à $e^x\ge e^a$ ?

11. Quel est le signe de $e^x$ pour tout réel $x$ ?

12. Quelle propriété de variation possède la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

13. Quelle est la dérivée de $e^{ax+b}$ ?

14. Si $u$ est dérivable, quelle formule donne la dérivée de $e^{u(x)}$ ?

15. Quel est l’effet du signe de $k$ sur la fonction $x\mapsto e^{kx}$ ?

16. Quelle valeur repère correspond à $e^1$ ?

17. Pour $u_n=e^{an}$ , quel est le rapport $u_{n+1}/u_n$ ?

18. Quelle nature possède la suite $u_n=e^{an}$ ?