QCM : Fonction polynôme du second degré — 14 questions

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, ce qui est le cas de la première expression. L’expression affine ne comporte pas de terme en $x^2$, tandis que les deux autres ne sont pas des polynômes du second degré.

Explication

Dans la forme développée, $a$, $b$ et $c$ sont les coefficients du trinôme du second degré. Les coordonnées du sommet apparaissent plutôt dans la forme canonique sous la forme $(\alpha;\beta)$.

Explication

La forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. Une confusion fréquente consiste à inverser les rôles de $\alpha$ et de $\beta$ ou à modifier le signe de la formule de $\alpha$.

Explication

Le passage à la forme canonique commence par l’identification de $a$, $b$ et $c$, suivie du calcul de $\alpha=-\frac{b}{2a}$, puis de $\beta=f(\alpha)$. La valeur $\beta$ n’est donc pas calculée avec la formule de $\alpha$.

Explication

Lorsque $a>0$, la fonction est strictement décroissante jusqu’à $x=\alpha$, puis strictement croissante, et son minimum vaut $\beta$. Le cas d’un maximum correspond à une parabole orientée vers le bas, c’est-à-dire lorsque $a<0$.

Explication

La courbe est une parabole dont le sommet est le point $S(\alpha;\beta)$ et dont l’axe de symétrie est la droite verticale d’équation $x=\alpha$. Le sommet est un point, tandis que l’axe de symétrie est une droite.

Explication

Une racine est une valeur de $x$ pour laquelle la fonction vaut zéro, donc elle vérifie $f(x_0)=0$. Le point associé sur la courbe a alors une ordonnée nulle, mais la racine désigne son abscisse.

Explication

Lorsque $a$ et $\beta$ sont de signes opposés, la fonction possède deux racines réelles. Le cas $\beta=0$ correspond, lui, à une seule racine.

Explication

Le discriminant se calcule avec la formule $\Delta=b^2-4ac$. L’expression $\beta$ désigne une valeur de la fonction en un point particulier et ne définit pas le discriminant.

Explication

Un discriminant $\Delta>0$ indique deux solutions réelles distinctes, calculées avec les deux signes devant $\sqrt{\Delta}$. Lorsque $\Delta=0$, l’équation possède une seule solution.

Explication

Quand le discriminant est nul, les deux solutions se confondent en $x_0=-\frac{b}{2a}$, qui correspond à $\alpha$. La formule comportant deux signes distincts s’applique au cas $\Delta>0$.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation n’a pas de solution réelle et que la fonction ne possède aucune racine réelle. La solution double $-\frac{b}{2a}$ apparaît lorsque $\Delta=0$.

Explication

La hauteur initiale est la hauteur lorsque la distance horizontale parcourue vaut zéro, donc elle est donnée par $f(0)=2$ mètres. L’expression $f(4,6)$ donne la hauteur du ballon à 4,6 mètres du lancer.

Explication

La forme canonique montre que le minimum est atteint pour $x=45$ et que sa valeur est $11$. Ainsi, 45 correspond à l’année relative à 1900, tandis que 11 représente l’effectif minimal.