Fiche de révision : Fonction polynôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Forme canonique et sommet
3. Variations et parabole
4. Racines et interprétation graphique
5. Discriminant et résolution
6. Applications et modélisation

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, a, b et c sont les coefficients du trinôme du second degré.

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• Pour passer de la forme développée à la forme canonique, on identifie a, b et c, on calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}$, puis $\beta=f(\alpha)$ avant d’écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

💡 Astuce mémo

Développée → α → β → forme canonique

📖 3. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré, de sommet S(α ; β) et d’axe de symétrie d’équation x = α.

📝 Points essentiels

📌 Si a > 0, la fonction est strictement décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$, et elle admet un minimum β atteint en x = α.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum et parabole vers le haut ; a < 0 : maximum et parabole vers le bas

📖 4. Racines et interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Nombre réel x₀ tel que f(x₀)=0, c’est-à-dire une solution de l’équation f(x)=0.

★ À maîtriser

📌 Le nombre de racines dépend du signe de β : si a > 0 et β > 0, ou si a < 0 et β < 0, la fonction n’a aucune racine ; si β = 0, elle a une racine ; si a > 0 et β < 0, ou si a < 0 et β > 0, elle a deux racines.

Compléments

• Graphiquement, les racines d’une fonction sont les abscisses des points d’intersection de sa courbe avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Les racines sont les abscisses où la parabole rencontre l’axe des abscisses

📖 5. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ possède une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}=\alpha$.

• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution dans ℝ et la fonction n’a pas de racine réelle.

💡 Astuce mémo

Δ : positif = 2, nul = 1, négatif = 0

📖 6. Applications et modélisation

📊 Tableaux de synthèse

Signe de a et variations

Signe du discriminant