Fiche de révision : Fonctions de plusieurs variables

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et ensembles de définition
2. Graphes et surfaces représentatives
3. Lignes et surfaces de niveau
4. Fonctions partielles de deux variables
5. Généralisation à trois variables

📖 1. Fonctions et ensembles de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de deux variables : Attribue à chaque couple (x, y) d’un ensemble D inclus dans R² une image f(x, y) dans R.
• Ensemble de définition : L’ensemble des couples (x, y) pour lesquels la fonction est définie, et il constitue un sous-ensemble de R².

📝 Points essentiels

📌 Lorsqu’une fonction est donnée par une formule explicite, son ensemble de définition est déterminé par les couples (x, y) pour lesquels cette formule a un sens.

📖 2. Graphes et surfaces représentatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Graphe : L’ensemble des points (x, y, z) de R³ tels que z = f(x, y) avec (x, y) dans D.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le graphe d’une fonction f de deux variables s’écrit $G = \{(x,y,f(x,y)),\ (x,y) \in D\}$.

📌 Le graphe de f(x, y) = x² + y² est un paraboloïde de révolution, tandis que le graphe de g(x, y) = x² − y² est un paraboloïde hyperbolique.

Compléments

• Une fonction affine f(x, y) = ax + by + c définie sur R² a pour graphe un plan d’équation ax + by − z = −c.

💡 Astuce mémo

Un point du plan (x, y) monte verticalement jusqu’à la hauteur z = f(x, y).

📖 3. Lignes et surfaces de niveau

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de niveau : L’ensemble $L_h = \{(x,y) \in D\mid f(x,y)=h\}$ des points où f prend la valeur constante h.

★ À maîtriser

• Pour f(x, y) = x² + y², la ligne de niveau h est un cercle centré à l’origine de rayon √h lorsque h ≥ 0, et elle est vide lorsque h < 0.

Compléments

• Les courbes cartographiques de même valeur sont: les isobares pour la pression, les isothermes pour la température, les courbes de niveau topographiques pour l’altitude

• Une ligne de niveau s’obtient en sectionnant le graphe par le plan horizontal z = h, puis en ne conservant que les deux premières coordonnées.

💡 Astuce mémo

Le graphe vit dans l’espace, tandis qu’une ligne de niveau reste dans le plan horizontal.

📖 4. Fonctions partielles de deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction partielle : Une fonction d’une seule variable obtenue à partir d’une fonction de plusieurs variables en fixant toutes les variables sauf une.

★ À maîtriser

• Au point (x₀, y₀), les deux fonctions partielles sont $f_1:x\mapsto f(x,y_0)$ et $f_2:y\mapsto f(x_0,y)$.

Compléments

• Pour f(x, y) = x² + y² au point (0, 0), on obtient f₁(x) = x² et f₂(y) = y².

💡 Astuce mémo

Fixer y donne f₁ en x ; fixer x donne f₂ en y.

📖 5. Généralisation à trois variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de trois variables : Associe à chaque triplet (x, y, z) d’un ensemble D inclus dans R³ une valeur réelle f(x, y, z).
• Surface de niveau : L’ensemble $L_h = \{(x,y,z) \in D\mid f(x,y,z)=h\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le graphe d’une fonction de trois variables est $G = \{(x,y,z,f(x,y,z)),\ (x,y,z) \in D\}$, un sous-ensemble de R⁴.

Compléments

• Une fonction de trois variables possède trois fonctions partielles d’une variable en fixant deux coordonnées, et trois fonctions partielles de deux variables en fixant une seule coordonnée.

💡 Astuce mémo

Deux variables libres donnent une surface ; une seule variable libre donne une courbe.

📊 Tableaux de synthèse

Représentations d’une fonction de deux variables