Fiche de révision : Fonctions de référence et second degré

📋 Plan du Cours

1. Variations et monotonie
2. Fonctions affine carrée inverse
3. Fonction valeur absolue
4. Fonctions polynômes du second degré
5. Formes canonique et factorisée
6. Étude et équations du second degré

📖 1. Variations et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : croissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b).
• Fonction décroissante : décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que a ≤ b, on a f(a) ≥ f(b).
• Fonction monotone : monotone sur un intervalle I si elle y est croissante ou décroissante.

📖 2. Fonctions affine carrée inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : une fonction définie par f(x) = ax + b, où a et b sont des réels.
• Fonction carrée : La fonction carrée est définie sur ℝ par f(x) = x² et elle est décroissante sur ]-∞;0] puis croissante sur [0;+∞[.
• Fonction inverse : La fonction inverse est définie sur ℝ* par f(x) = 1/x et elle est décroissante sur ]-∞;0[ ainsi que sur ]0;+∞[.

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction affine f(x) = ax + b, f est décroissante si a < 0, constante si a = 0 et croissante si a > 0.

💡 Astuce mémo

Affine : la pente a décide ; carrée et inverse : les variations dépendent des intervalles.

📖 3. Fonction valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : la distance entre l’origine O et le point M d’abscisse x sur une droite repérée.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux points A et B d’abscisses x_A et x_B, la distance vérifie $|AB| = |x_B-x_A| = |x_A-x_B|$.

📌 Pour tout réel x, on a |x| ≥ 0, |-x| = |x| et $\sqrt{x^2}=|x|$.

• La fonction valeur absolue est définie par f(x) = x si x ≥ 0 et f(x) = −x si x < 0 ; elle est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.

💡 Astuce mémo

Une courbe en V, avec le sommet à l’origine.

📖 4. Fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : une fonction définie sur ℝ s’il existe des réels a, b et c avec a ≠ 0 tels que f(x) = ax² + bx + c pour tout x ∈ ℝ.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole, dont le sommet est le point d’abscisse correspondant à l’extrémum sur ℝ.

📐 Formule — Pour f(x) = ax² + bx + c, la forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📌 Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut ; si a < 0, elle est ouverte vers le bas.

💡 Astuce mémo

a > 0 donne une parabole ouverte vers le haut ; a < 0 vers le bas.

📖 5. Formes canonique et factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : un polynôme du second degré défini par P(x) = a(x − x₁)(x − x₂), avec a, x₁ et x₂ réels et a ≠ 0.

★ À maîtriser

• La forme développée d’un polynôme du second degré est ax² + bx + c, tandis que sa forme canonique est a(x − α)² + β.

Compléments

📐 Formule — Le discriminant associé à ax² + bx + c est $\Delta=b^2-4ac$, et la forme canonique peut s’écrire $P(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$.

• Lorsque la forme factorisée existe, x₁ et x₂ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Développée → canonique → factorisée.

📖 6. Étude et équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : une équation qui peut s’écrire ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0, et ses solutions sont appelées les racines du polynôme.

★ À maîtriser

📌 Pour P(x) = a(x − α)² + β, P est décroissante puis croissante si a > 0, et croissante puis décroissante si a < 0.

• L’extrémum d’un polynôme du second degré vaut β et est atteint pour x = α ; le sommet de la parabole a donc pour coordonnées (α;β).

Compléments

• La parabole associée à P(x) = a(x − α)² + β admet l’axe de symétrie d’équation x = α.

💡 Astuce mémo

Le signe de a → le sens des variations → le minimum ou maximum.

📊 Tableaux de synthèse

Variations des fonctions de référence