QCM : Fonctions de référence et second degré — 19 questions

Explication

Une fonction croissante conserve l’ordre des images : si $a\le b$, alors $f(a)\le f(b)$. La relation $f(a)\ge f(b)$ caractérise la décroissance, tandis que les deux autres conditions ne définissent pas la croissance.

Explication

Une fonction décroissante associe des images qui diminuent ou restent égales lorsque la variable augmente, donc $f(a)\ge f(b)$. L’inégalité inverse correspond à la croissance.

Explication

Une fonction affine est de la forme $f(x)=ax+b$, où les coefficients $a$ et $b$ sont réels. Les autres expressions correspondent à des formes quadratique, inverse ou valeur absolue.

Explication

Le coefficient directeur vaut $a=-3<0$, donc la fonction affine est décroissante. Une fonction affine est croissante lorsque son coefficient directeur est positif et constante lorsqu’il est nul.

Explication

La fonction carrée diminue jusqu’à $0$, puis augmente à partir de $0$. Elle ne suit donc pas le même comportement que la fonction inverse, qui est décroissante sur chacun de ses deux intervalles de définition.

Explication

La fonction inverse n’est pas définie en $0$, donc son domaine est $\mathbb{R}^*$, et elle est décroissante sur $]-\infty;0[$ ainsi que sur $]0;+\infty[$. La fonction carrée, elle, est définie sur tout $\mathbb{R}$.

Explication

La valeur absolue $|x|$ représente une distance entre l’origine et le point d’abscisse $x$, donc elle est positive ou nulle. À l’inverse, le nombre $x$ conserve son signe et peut être négatif.

Explication

La distance vaut $|AB|=|x_B-x_A|=|5-(-2)|=|7|=7$. La différence orientée $x_B-x_A$ peut dépendre de l’ordre choisi, tandis que la distance reste positive.

Explication

La racine carrée de $x^2$ est la valeur positive ou nulle associée à $x$, donc $\sqrt{x^2}=|x|$. L’égalité $\sqrt{x^2}=x$ échoue lorsque $x<0$.

Explication

Lorsque $x<0$, on a $|x|=-x$, ce qui produit une décroissance jusqu’à zéro ; lorsque $x\ge0$, on a $|x|=x$, ce qui produit une croissance. La fonction possède donc un minimum en $0$.

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, ce qui est le cas de la première expression. L’expression $4x-7$ est affine, car elle ne comporte pas de terme en $x^2$.

Explication

La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Une droite correspond notamment à une fonction affine, tandis qu’un cercle ou une hyperbole ne décrivent pas cette forme générale.

Explication

Le paramètre horizontal vaut $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et le paramètre vertical est la valeur $f(\alpha)$. Le signe et le facteur $2$ sont donc essentiels dans le calcul de $\alpha$.

Explication

Le coefficient de $x^2$ est négatif, car $a=-2$ ; la parabole est donc ouverte vers le bas. Une parabole dont le coefficient dominant est positif s’ouvre vers le haut.

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$, tandis que $ax^2+bx+c$ est la forme développée. La forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ correspond à la forme factorisée lorsqu’elle existe.

Explication

La forme factorisée est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq 0$. L’expression $a(x-\alpha)^2+\beta$ est la forme canonique, et la condition $a=0$ supprimerait le degré deux.

Explication

Ici, $a=2>0$, donc la fonction décroît jusqu’à l’abscisse du sommet puis croît après celle-ci. Une valeur positive de $a$ correspond aussi à un minimum.

Explication

L’extrémum est atteint pour $x=\alpha$ et sa valeur est $\beta$, donc le sommet a pour coordonnées $(\alpha;\beta)$. Intervertir $\alpha$ et $\beta$ confondrait l’abscisse du sommet avec son ordonnée.

Explication

Une équation du second degré peut s’écrire $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$ ; c’est le cas de $3x^2-5x+2=0$. L’équation $4x-7=0$ est du premier degré, tandis que les deux autres ont une autre structure.