Fiche de révision : Fonctions, dérivées et intégrales

📋 Plan du Cours

1. Mesure des angles et triangles
2. Cercle trigonométrique et identités
3. Triangulation des triangles quelconques
4. Vecteurs et produits vectoriels
5. Coordonnées et droites du plan
6. Paraboles et optimisation
7. Fonctions et domaines de définition
8. Fonctions réelles et domaines
9. Graphes et fonctions réciproques
10. Dérivée et règles de calcul
11. Croissance et extrema
12. Primitives et aires
13. Fonctions de deux variables
14. Intégrales doubles et algèbre
15. Formules trigonométriques et Simpson
16. Applications du calcul vectoriel
17. Changements de repère
18. Transformations de graphes

📖 1. Mesure des angles et triangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : Mesure un angle comme le rapport entre la longueur de l’arc correspondant et le rayon du cercle.

• Nombres trigonométriques : Dans un triangle rectangle, $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$, $\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$ et $\tan(\alpha)=\frac{a}{b}$ pour un angle aigu α, où c est l’hypoténuse.

★ À maîtriser

📐 Formule — La longueur L d’un arc de cercle de rayon r et d’angle α exprimé en radians vérifie $L=r\alpha$.

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne $c^2=a^2+b^2$ et l’identité trigonométrique donne $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

Compléments

• Les valeurs particulières sont $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12$, $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}$.

💡 Astuce mémo

SOHCAHTOA : sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle

📖 2. Cercle trigonométrique et identités

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est un cercle orienté, centré en O et de rayon 1, qui associe à chaque angle un point M et définit le cosinus et le sinus par les projections signées de OM.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel α et tout entier k, $\cos(\alpha+2k\pi)=\cos(\alpha)$, $\sin(\alpha+2k\pi)=\sin(\alpha)$ et $\tan(\alpha+k\pi)=\tan(\alpha)$.

📌 La tangente n’est pas définie pour les angles de la forme $\frac{\pi}{2}+k\pi$, car le cosinus s’y annule.

Compléments

📐 Formule — Les symétries trigonométriques donnent $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$, $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$, $\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)$ et $\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)$.

💡 Astuce mémo

Cosinus horizontal, sinus vertical ; tangente verticale

📖 3. Triangulation des triangles quelconques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un triangle quelconque, la loi des sinus donne $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$.

📐 Formule — Le théorème d’Al-Kashi donne notamment $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$, avec les deux relations analogues obtenues par permutation.

📌 Dans tout triangle, la somme des angles vaut $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Compléments

📌 Lorsqu’un sinus permet deux angles compris entre 0° et 180°, la calculatrice renvoie généralement le plus petit ; il faut donc vérifier si l’angle supplémentaire convient au triangle.

💡 Astuce mémo

Hauteur du triangle → loi des sinus et théorème d’Al-Kashi

📖 4. Vecteurs et produits vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Segment orienté déterminé par sa direction, son sens et sa norme.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire de deux vecteurs vérifie $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\theta)$.

📌 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

📐 Formule — Dans l’espace, le produit vectoriel vérifie $\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\theta)$ et produit un vecteur perpendiculaire à $\vec u$ et $\vec v$.

Compléments

📌 Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire : nombre ; produit vectoriel : vecteur perpendiculaire

📖 5. Coordonnées et droites du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cartésiennes : Dans un repère orthonormé, les coefficients de la décomposition d’un vecteur suivant les vecteurs de base.
• Droite affine : Une droite non verticale du plan a une équation de la forme $y=mx+p$, où m est la pente et p l’ordonnée à l’origine.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $A=(x_A,y_A)$ et $B=(x_B,y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$.

📐 Formule — Pour $\vec u=(x_u,y_u)$ et $\vec v=(x_v,y_v)$, on a $\vec u\cdot\vec v=x_ux_v+y_uy_v$ et $\|\vec u\|=\sqrt{x_u^2+y_u^2}$.

📐 Formule — La pente d’une droite passant par deux points A et B vérifie $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ lorsqu’elle n’est pas verticale.

Compléments

📌 Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente, tandis que deux droites non verticales perpendiculaires ont des pentes vérifiant $m'=-\frac1m$.

💡 Astuce mémo

Points → pente → équation → parallélisme ou perpendicularité

📖 6. Paraboles et optimisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe d’équation $y=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le sommet d’une parabole $y=ax^2+bx+c$ a pour abscisse $x_S=-\frac{b}{2a}$, et son axe de symétrie est la droite $x=-\frac{b}{2a}$.

📌 La parabole est tournée vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.

• Pour maximiser une recette ou un produit modélisé par une parabole tournée vers le bas, il faut atteindre l’abscisse du sommet de cette parabole.

Compléments

• Pour déterminer une parabole passant par trois points, on remplace les coordonnées des trois points dans $y=ax^2+bx+c$, puis on résout le système obtenu en a, b et c.

📐 Formule — La distance focale d’une parabole $y=ax^2+bx+c$ vaut $k=\frac{1}{4|a|}$.

💡 Astuce mémo

Concavité vers le haut ou le bas → minimum ou maximum au sommet

📖 7. Fonctions et domaines de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Associe à chaque réel x au plus un réel y=f(x), appelé l’image de x.
• Domaine de définition : Ensemble des réels pour lesquels cette fonction existe.

★ À maîtriser

• Pour déterminer un domaine de définition, il faut:
  • Exclure les valeurs qui annulent un dénominateur
  • Imposer un radicand positif ou nul
  • Imposer un argument de logarithme strictement positif

Compléments

• Pour $f(x)=\frac{x^3-2}{x^2-3x+2}$, le domaine de définition est $\mathbb R\setminus\{1{,}2\}$, car le dénominateur s’annule en 1 et 2.

• Pour $f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}$, le domaine de définition est $]-\infty,1]\cup[2,+\infty[$, car le radicand doit être positif ou nul.

📖 8. Fonctions réelles et domaines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’une variable réelle : Associe à un nombre réel x au plus un nombre réel y=f(x).

★ À maîtriser

• Les conditions principales sont:
  • un dénominateur non nul
  • un radicand de racine carrée positif ou nul
  • un argument de logarithme strictement positif

Compléments

• Le domaine de la fonction $f(x)=\frac{x^3-2}{x^2-3x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus\{1{,}2\}$.

• Le domaine de la fonction $f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}$ est $]-\infty,1]\cup[2,+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Dénominateur → racine → logarithme

📖 9. Graphes et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Graphe d’une fonction : Ensemble des points de coordonnées (x,f(x)) pour lesquels x appartient au domaine de f.
• Composition de fonctions : Si l’image de f est incluse dans le domaine de g, la composée de f par g est définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.
• Fonction réciproque : Une fonction g est la fonction réciproque de f si f∘g=g∘f=Id, et cette fonction est unique lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

📌 En général, les compositions g∘f et f∘g ne sont pas égales, et l’une peut être définie alors que l’autre ne l’est pas.

Compléments

📌 Le point d’intersection avec l’axe vertical est (0,f(0)) lorsque 0 appartient au domaine, tandis que les intersections avec l’axe horizontal se trouvent en résolvant f(x)=0.

💡 Astuce mémo

g∘f applique f puis g, tandis que f∘g applique g puis f

📖 10. Dérivée et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : La dérivée de f au point a est la limite $f'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

📌 Lorsque f est dérivable en a, f′(a) est le coefficient directeur de la tangente au graphe au point (a,f(a)).

📐 Formule — Pour n rationnel, la dérivée de $x^n$ est $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$ sur son domaine.

📐 Formule — La règle du produit est $(fg)'=f'g+fg'$ et la règle de la chaîne est $$ (g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x) $.

Compléments

📐 Formule — Les dérivées usuelles vérifient $(e^x)'=e^x$, $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$ et $(\ln x)'=\frac1x$.

💡 Astuce mémo

Variation moyenne → limite → pente de la tangente

📖 11. Croissance et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : Point où f′(x₀)=0, ce qui correspond à une tangente horizontale.
• Point d’inflexion : Un point d’inflexion est un point où la concavité du graphe s’inverse, généralement lorsque f′′ s’annule et change de signe.

★ À maîtriser

📌 Si f′(x)≥0 sur un intervalle I, alors f est croissante sur I, et si f′(x)≤0 sur I, alors f est décroissante sur I.

📌 Un changement de signe de f′ de positif à négatif donne un maximum local, tandis qu’un changement de négatif à positif donne un minimum local.

Compléments

📐 Formule — Pour une fonction quadratique $f(x)=ax^2+bx+c$, le point critique est $x_0=-\frac{b}{2a}$; il est un minimum si a>0 et un maximum si a<0.

💡 Astuce mémo

f′ positive : croissance ; f′ négative : décroissance

📖 12. Primitives et aires

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Fonction dérivable F telle que F′(x)=f(x) pour tout x de son domaine.

★ À maîtriser

📌 Si F est une primitive de f, toutes les primitives de f sont F+k avec k réel.

📐 Formule — Pour n≠−1, $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$, tandis que $\int\frac1x\,dx=\ln|x|+k$.

📐 Formule — Une intégrale définie vérifie $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ lorsqu’une primitive F de f existe sur [a,b].

📌 Si g(x)≤f(x) sur [a,b], l’aire entre leurs graphes vaut $\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$.

Compléments

• Lorsque f change de signe sur l’intervalle, l’aire totale s’obtient en additionnant les valeurs absolues des intégrales sur les sous-intervalles séparés par ses zéros.

💡 Astuce mémo

Intégrale signée : aire au-dessus − aire au-dessous

📖 13. Fonctions de deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de deux variables : Associe à chaque couple (x,y) de son domaine un unique nombre réel z=f(x,y).
• Graphe d’une fonction de deux variables : Le graphe de f(x,y) est la surface de l’espace constituée des points (x,y,z) tels que z=f(x,y).

★ À maîtriser

📌 Lorsqu’on intègre une fonction de deux variables par rapport à une variable, l’autre variable est traitée comme une constante.

Compléments

• Pour f(x,y)=3x²+√y−xy³+e^(x+y), la fonction n’est pas définie lorsque y<0.

💡 Astuce mémo

Le graphe de z=f(x,y) forme une surface dans l’espace

📖 14. Intégrales doubles et algèbre

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale double sur un rectangle : Pour un rectangle R=[a,b]×[c,d], l’intégrale double s’écrit $\iint_R f(x,y)\,dxdy=\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ et l’ordre d’intégration peut être inversé.

★ À maîtriser

📌 Si U={(x,y)|a≤x≤b et p(x)≤y≤q(x)}, alors $\iint_U f(x,y)\,dxdy=\int_a^b\int_{p(x)}^{q(x)}f(x,y)\,dy\,dx$.

• Pour intégrer sur un domaine borné compliqué, on le divise en plusieurs morceaux exprimables par des bornes d’intégration simples, puis on additionne les intégrales obtenues.

📌 Pour une équation du second degré, Δ**>0** donne deux solutions réelles, Δ**=0** donne une solution réelle double et Δ**<0** donne aucune solution réelle.

Compléments

📐 Formule — Le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Les produits remarquables incluent (a−b)(a+b)=a²−b², (a+b)²=a²+2ab+b² et (a−b)²=a²−2ab+b².

📖 15. Formules trigonométriques et Simpson

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules d’addition sont $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$ et $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$.

📐 Formule — Les formules de différence sont $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)$ et $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)$.

📐 Formule — Les formules de l’angle double sont $\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)$ et $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

📐 Formule — Les formules de Simpson permettent notamment d’écrire $\cos(p)\cos(q)=\frac{1}{2}\left[\cos(p+q)+\cos(p-q)\right]$.

Compléments

📐 Formule — Les formules des angles complémentaires sont $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\sin(\beta)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\cos(\beta)$.

💡 Astuce mémo

Somme, différence, double angle, puis Simpson

📖 16. Applications du calcul vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance d’un point à une droite : la longueur du plus petit segment joignant A à un point de d, obtenue selon la perpendiculaire à d passant par A
• Centre de gravité : le point d’intersection de ses médianes et vérifie G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3},\frac{z_A+z_B+z_C}{3}

★ À maîtriser

📐 Formule — Le milieu de deux points de l’espace a pour coordonnées $M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Compléments

• Pour A=(-1{,}3,-5) et B=(2{,}1,-3), le milieu est $M=\left(\frac12,2,-4\right)$.

💡 Astuce mémo

Milieu à deux points, centre de gravité à trois

📖 17. Changements de repère

★ À maîtriser

📐 Formule — Lors d’une translation de l’origine vers O'=(x_0,y_0), les coordonnées deviennent $x'=x-x_0$ et $y'=y-y_0$, avec réciproquement $x=x'+x_0$ et $y=y'+y_0$.

📐 Formule — Après une translation puis une rotation d’angle α, les coordonnées vérifient $x''=(x-x_0)\cos(\alpha)+(y-y_0)\sin(\alpha)$ et $y''=(y-y_0)\cos(\alpha)-(x-x_0)\sin(\alpha)$.

Compléments

📐 Formule — La matrice de rotation du changement de repère est $M(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&\sin(\alpha)\\-\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Translation de l’origine, puis rotation des axes

📖 18. Transformations de graphes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale double : pour une fonction intégrable positive f sur une région U, le volume compris entre le graphe de f et le plan Oxy
• Fonction paire : une fonction vérifiant f(-x)=f(x), ce qui signifie que son graphe est symétrique par rapport à l’axe Oy
• Fonction impaire : une fonction vérifiant f(-x)=-f(x), ce qui signifie que son graphe est symétrique par rapport à l’origine du repère

★ À maîtriser

• Pour une fonction f, f(x)+a et f(x)-a représentent respectivement des translations verticales de a vers le haut et de a vers le bas.

• Pour a>0, f(x+a) translate le graphe horizontalement de a vers la gauche, tandis que f(x-a) le translate de a vers la droite.

• La transformation -f(x) est la symétrie du graphe par rapport à l’axe Ox, tandis que f(-x) est la symétrie par rapport à l’axe Oy.

• 🔄 Les étapes d’un problème d’optimisation sont: exprimer la contrainte, construire la fonction à optimiser, rechercher les points critiques avec la dérivée, déterminer leur nature, conclure dans le contexte

• Un rectangle d’aire 144 m² a un périmètre minimal lorsque ses dimensions sont x=12 m et y=12 m, c’est-à-dire lorsqu’il est carré.

📌 L’intégrale d’un produit n’est généralement pas égale au produit des intégrales, car $\int f(x)g(x)\,dx\ne\left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.

📐 Formule — L’intégration par parties repose sur la formule $\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx$.

📐 Formule — Par changement de variable, si u=g(x), alors $\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+c$ lorsque F est une primitive de f.

📐 Formule — L’aire d’une région U est $\operatorname{Aire}(U)=\iint_U1\,dxdy$.

📐 Formule — Pour une surface U d’aire A, les moments statiques sont $M_{1x}=\iint_U y\,dxdy$ et $M_{1y}=\iint_U x\,dxdy$.

📐 Formule — Les coordonnées du centre de gravité G d’une surface vérifient $x_G=\frac{M_{1y}}{A}$ et $y_G=\frac{M_{1x}}{A}$.

Compléments

• Pour un jardin d’aire 75 m² clôturé sur trois côtés par des matériaux coûtant 10 euros par mètre et sur le quatrième par une clôture coûtant 5 euros par mètre, le coût minimal est de 300 euros pour x=7{,}5 m et y=10 m.

• Le point du graphe de f(x)=√x le plus proche de A=(2{,}0) est $\left(\frac32,\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\right)$, et la distance minimale vaut $\frac{\sqrt7}{2}$.

💡 Astuce mémo

f(x) agit verticalement, f(−x) horizontalement

📊 Tableaux de synthèse

Relations entre produits vectoriels

Signe de la dérivée et comportement