QCM : Fonctions, dérivées et intégrales — 63 questions

Explication

Le radian est défini comme le rapport entre la longueur de l’arc intercepté et le rayon du cercle. La mesure en degrés exprime plutôt une fraction de tour, ce qui ne correspond pas directement à une longueur d’arc.

Explication

La longueur d’un arc se calcule avec $L=r\alpha$ lorsque l’angle est exprimé en radians, donc $L=5\times\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\,\text{cm}$. Utiliser directement une mesure en degrés dans cette formule conduirait à une mauvaise valeur.

Explication

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse, soit $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$. Le rapport $\frac{4}{5}$ correspondrait au cosinus si le côté adjacent valait $4$.

Explication

Le théorème de Pythagore donne $c^2=6^2+8^2=100$, donc $c=10$. Additionner les deux côtés, ou multiplier leurs longueurs, ne permet pas d’obtenir l’hypoténuse.

Explication

Sur le cercle trigonométrique, le cosinus et le sinus sont les projections signées du rayon orienté $OM$ sur les axes. Cette construction étend les définitions du triangle rectangle aux angles qui ne sont pas aigus.

Explication

La tangente possède une période de $\pi$, d’où $\tan(\alpha+k\pi)=\tan(\alpha)$. Le sinus et le cosinus, eux, ont une période de $2\pi$, ce qui explique la confusion fréquente entre ces périodes.

Explication

La tangente vaut $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ et n’est donc pas définie lorsque $\cos(\alpha)=0$, c’est-à-dire pour $\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi$. Aux angles $k\pi$, le cosinus vaut au contraire $1$ ou $-1$, donc la tangente est définie.

Explication

La loi des sinus affirme que chaque côté divisé par le sinus de son angle opposé donne une même valeur, soit $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$. Les autres relations ne décrivent pas la proportion entre les côtés et les sinus des angles opposés.

Explication

Le théorème d’Al-Kashi donne $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$ lorsque $\alpha$ est l’angle compris entre les côtés $b$ et $c$. Le théorème de Pythagore ne constitue qu’un cas particulier lié à un angle droit.

Explication

La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$, donc le troisième angle mesure $180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$. Une valeur comme $90^\circ$ ne résulte pas de la somme imposée par ces deux angles.

Explication

Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme. Son origine ou sa position peuvent changer sans modifier le vecteur libre.

Explication

La formule donne $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\theta)=3\times4\times\cos(60^\circ)=6$. Le produit vectoriel, lui, serait un vecteur et ne correspond pas à cette expression scalaire.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut zéro. Un produit vectoriel nul caractérise plutôt la colinéarité dans l’espace.

Explication

Le produit vectoriel produit un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux, et sa norme vaut $\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\theta)$. Le produit scalaire est au contraire un nombre réel qui mesure une relation angulaire.

Explication

Les coordonnées d’un vecteur sont les coefficients de sa décomposition suivant les vecteurs de base. Elles ne désignent pas directement les coordonnées d’un point extrémité sans connaître l’origine du vecteur.

Explication

On soustrait les coordonnées de l’origine à celles de la destination : $\overrightarrow{AB}=(5-2,3-(-1))=(3,4)$. Les différences opposées correspondent à $\overrightarrow{BA}$.

Explication

Le produit scalaire vaut $3\times2+4\times(-1)=2$, tandis que $\|\vec u\|=\sqrt{3^2+4^2}=5$. La norme utilise la racine de la somme des carrés, et non la somme des coordonnées.

Explication

Une droite non verticale s’écrit $y=mx+p$, où $m$ est la pente et $p$ l’ordonnée à l’origine. Une expression quadratique décrit une parabole plutôt qu’une droite.

Explication

Une parabole est décrite par une équation $y=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ; $y=2x^2-3x+1$ respecte cette forme. Une équation affine représente une droite, tandis que les deux autres ont d’autres types de courbes.

Explication

La formule donne $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$. La valeur obtenue est l’abscisse du sommet et non son ordonnée.

Explication

Le coefficient quadratique vaut $a=-3<0$, donc la parabole est tournée vers le bas. Le signe du terme constant ou du coefficient linéaire ne détermine pas son orientation.

Explication

Pour une parabole tournée vers le bas, le maximum est atteint à l’abscisse du sommet. L’ordonnée à l’origine décrit la valeur pour une quantité nulle et ne donne pas nécessairement le maximum.

Explication

Une fonction associe à chaque réel autorisé au plus un réel, appelé son image. L’association de plusieurs images à un même antécédent ne respecte pas la définition d’une fonction.

Explication

Le domaine de définition regroupe les réels pour lesquels l’expression de la fonction est définie. Les valeurs obtenues constituent plutôt l’image, ce qui correspond à une confusion fréquente entre antécédents et valeurs images.

Explication

Un dénominateur ne doit pas s’annuler, le radicand doit être positif ou nul et l’argument d’un logarithme doit être strictement positif. En particulier, zéro est admis sous une racine carrée mais interdit comme argument logarithmique.

Explication

Un logarithme réel est défini lorsque son argument est strictement positif. La condition positive ou nulle concerne le radicand d’une racine carrée, et non l’argument logarithmique.

Explication

Le dénominateur se factorise en $(x-1)(x-2)$ et s’annule donc pour $x=1$ et $x=2$. Ces deux valeurs sont exclues du domaine, tandis que les autres réels sont autorisés.

Explication

Le graphe rassemble les couples de coordonnées dont la première composante est un antécédent et dont la seconde est son image. Les couples inversés décrivent une relation différente, liée éventuellement à une fonction réciproque.

Explication

Dans la notation $(g\circ f)(x)$, la fonction située à droite, $f$, agit la première, puis $g$ agit sur le résultat. L’expression $f(g(x))$ correspond à la composition dans l’ordre inverse.

Explication

La composition des fonctions n’est généralement pas commutative : l’ordre d’application peut modifier le résultat et les conditions d’existence. Ainsi, une composition peut être définie alors que l’autre ne l’est pas.

Explication

Une fonction réciproque annule l’action de la fonction initiale dans les deux sens, ce qui donne les compositions égales à l’identité. Lorsqu’elle existe, cette fonction réciproque est unique, contrairement aux autres situations proposées.

Explication

La dérivée est la limite du taux de variation lorsque $\Delta x$ tend vers zéro. Avec un $\Delta x$ non nul fixé, on obtient seulement une variation moyenne entre deux points.

Explication

La dérivée en un point est le coefficient directeur de la tangente au graphe en ce point. Une pente moyenne relie plutôt deux points distincts et ne décrit pas directement la tangente locale.

Explication

La règle de dérivation des puissances donne $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$. Les autres expressions ne diminuent pas l’exposant de un tout en le multipliant par n.

Explication

La règle de la chaîne évalue la dérivée extérieure en $f(x)$ puis la multiplie par la dérivée intérieure $f'(x)$. La formule $g'(x)f(x)$ ne tient pas compte de la composition des arguments.

Explication

Une dérivée non négative sur un intervalle indique que la fonction y est croissante. Une dérivée nulle partout conduirait à une fonction constante, mais cette condition est plus forte que celle donnée.

Explication

Pour une fonction dérivable, un point critique est associé à une dérivée nulle, donc à une tangente horizontale. Une valeur nulle de la fonction décrit plutôt une intersection avec l’axe des abscisses et ne suffit pas à définir un point critique.

Explication

Le passage d’une dérivée négative à une dérivée positive signifie que la fonction cesse de décroître et commence à croître, ce qui donne un minimum local. Le changement positif vers négatif correspond, lui, à un maximum local.

Explication

Un point d’inflexion est défini par une inversion de la concavité, généralement repérée par une annulation suivie d’un changement de signe de la dérivée seconde. Une tangente horizontale ou un changement de signe de la fonction ne suffit pas à établir cette propriété.

Explication

Une primitive de f est une fonction dérivable dont la dérivée est f en chaque point du domaine considéré. L’égalité $F(x)=f(x)+k$ concerne une relation entre fonctions, pas la définition d’une primitive.

Explication

Deux primitives d’une même fonction ont la même dérivée et diffèrent donc d’une constante réelle. Ajouter une fonction quelconque modifierait généralement la dérivée et ne préserverait pas la propriété de primitive.

Explication

La règle d’intégration des puissances donne $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$ lorsque $n\ne-1$. La forme logarithmique est réservée à l’intégrale de $\frac1x$.

Explication

Le théorème fondamental du calcul intégral donne la différence entre la valeur de la primitive à la borne supérieure et celle à la borne inférieure. Une intégrale définie produit ainsi une valeur numérique, sans constante arbitraire à ajouter.

Explication

Une fonction de deux variables prend un couple $(x,y)$ comme entrée et lui associe une valeur réelle unique. L’association de plusieurs valeurs à un même couple ne définit pas une fonction au sens usuel.

Explication

Le graphe est une surface de l’espace formée par les points dont la troisième coordonnée vaut $z=f(x,y)$. Une fonction d’une variable possède plutôt un graphe représenté par une courbe plane.

Explication

Lors d’une intégration par rapport à $x$, toute autre variable, ici $y$, est considérée comme une constante. Il n’est donc pas nécessaire de remplacer ou de dériver $y$ pendant ce calcul.

Explication

Sur le rectangle considéré, $x$ varie de $a$ à $b$ et $y$ varie de $c$ à $d$, ce qui donne l’intégrale itérée indiquée. Les bornes des deux variables ne doivent pas être interverties avec celles d’une autre variable.

Explication

Les bornes décrivant le domaine imposent que $x$ varie de $a$ à $b$, puis que $y$ varie de $p(x)$ à $q(x)$. Inverser ces bornes ou utiliser des bornes qui ne décrivent pas le domaine modifie l’intégrale.

Explication

Un domaine complexe se traite en le partitionnant en sous-domaines décrits par des bornes simples, puis en additionnant les intégrales correspondantes. Le remplacer par un rectangle ou choisir des frontières arbitraires ne conserve pas nécessairement le domaine initial.

Explication

Un discriminant négatif indique que l’équation du second degré n’a pas de racine réelle. Une solution réelle double correspond au cas $\Delta=0$, et deux solutions réelles distinctes au cas $\Delta>0$.

Explication

La formule d’addition du cosinus combine le produit des cosinus et le produit des sinus avec un signe négatif. Le signe positif dans cette structure correspond à la formule du cosinus d’une différence.

Explication

La formule du sinus d’une différence est obtenue avec le produit $\sin(\alpha)\cos(\beta)$ diminué du produit $\cos(\alpha)\sin(\beta)$. Le signe positif caractérise la formule du sinus d’une somme.

Explication

La formule de l’angle double exprime le sinus de $2\alpha$ comme deux fois le produit de $\sin(\alpha)$ par $\cos(\alpha)$. La différence de carrés concerne le cosinus de l’angle double, pas son sinus.

Explication

La formule de Simpson associe au produit de deux cosinus la demi-somme des cosinus de la somme et de la différence des angles. Le facteur $\frac{1}{2}$ et le signe positif sont indispensables à cette identité.

Explication

La distance est obtenue par le plus court segment reliant A à la droite, et ce segment est perpendiculaire à d. Un segment quelconque peut relier A à d, mais il n’a pas nécessairement une longueur minimale.

Explication

Le milieu s’obtient en prenant la moyenne des coordonnées correspondantes des deux points. Le dénominateur 3 concerne le centre de gravité d’un triangle, tandis qu’une différence ne donne pas le milieu.

Explication

On moyenne chaque coordonnée : $\frac{-1+2}{2}=\frac12$, $\frac{3+1}{2}=2$ et $\frac{-5-3}{2}=-4$. La somme non divisée donne le double du milieu, et les autres propositions comportent des erreurs de signe ou de calcul.

Explication

Une translation de l’origine vers $O'$ conduit à soustraire les coordonnées de cette nouvelle origine : $x'=x-x_0$ et $y'=y-y_0$. L’addition correspond aux formules réciproques permettant de retrouver les anciennes coordonnées à partir des nouvelles.

Explication

La translation est effectuée d’abord en remplaçant les coordonnées par $x-x_0$ et $y-y_0$, puis la rotation donne la combinaison indiquée pour $x''$. Ajouter les coordonnées de l’origine appliquerait le mauvais sens de translation.

Explication

Ajouter une constante aux valeurs de la fonction augmente chaque ordonnée de a, ce qui déplace le graphe vers le haut. Le déplacement vers le bas correspond à $f(x)-a$, tandis que les modifications de l’argument produisent des translations horizontales.

Explication

Le signe plus dans l’argument entraîne une translation horizontale de a vers la gauche. Le signe moins dans l’argument produirait un déplacement vers la droite.

Explication

Remplacer x par $-x$ réfléchit les points horizontalement et produit une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. En revanche, changer le signe des valeurs avec $-f(x)$ donne une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

Explication

La méthode consiste à formuler la contrainte, construire la fonction à optimiser, rechercher les points critiques par dérivation, étudier leur nature, puis interpréter le résultat. Une dérivée seule ou un choix graphique sans étude de la contrainte ne suffit pas à justifier l’optimum.