QCM : Fonctions du second degré — 11 questions

Question 1

1. Quel est le degré du polynôme obtenu en réduisant l’expression $(x-1)^2-x^2$ ?

Le degré constant

Le premier degré

Le deuxième degré

Le troisième degré

Explication

En développant, on obtient $x^2-2x+1-x^2=-2x+1$ , qui est un polynôme du premier degré. La présence initiale de termes en $x^2$ ne suffit donc pas à déterminer le degré après réduction.

Answer

Le premier degré

Question 2

2. Quelle expression représente la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

f(x)=(a x-b)^2+c

f(x)=a(x-\beta)^2+\alpha

f(x)=ax^2+bx+c

Explication

La forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , avec $\alpha$ et $\beta$ réels. L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée, et les autres propositions échangent ou modifient les paramètres caractéristiques.

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 3

3. Pour $f(x)=6x^2-12x+5$ , quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole ?

\left(1,-1\right)

\left(-1,1\right)

\left(-1,-1\right)

\left(1,1\right)

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\times6}=1$ , puis $\beta=f(1)=6-12+5=-1$ . La confusion fréquente consiste à attribuer à $\beta$ le rôle de l’abscisse, alors que $\alpha$ est l’abscisse du sommet.

Answer

$$\left(1,-1\right)$$

Question 4

4. Quelle opération correspond au développement d’une expression algébrique ?

Distribuer les facteurs puis regrouper les termes de même degré

Remplacer chaque terme par sa valeur numérique

Écrire l’expression sous la forme d’un produit de facteurs

Classer les termes selon leurs coefficients décroissants

Explication

Développer consiste à distribuer les facteurs, puis à regrouper les termes de même degré. Écrire une expression sous forme de produit correspond plutôt à la factorisation.

Answer

Distribuer les facteurs puis regrouper les termes de même degré

Question 5

5. Quel est le développement de $(3x-2)^2$ ?

9x^2+12x+4

9x^2-12x+4

9x^2-6x+4

3x^2-12x+4

Explication

En utilisant l’identité remarquable $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$ avec $u=3x$ et $v=2$ , on obtient $9x^2-12x+4$ . Le terme central est négatif, car le binôme contient une soustraction.

Answer

$$9x^2-12x+4$$

Question 6

6. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que peut-on affirmer lorsque $a<0$ ?

La parabole a pour axe la droite

y=\beta

La parabole possède deux sommets d’ordonnée

\beta

La parabole admet un maximum égal à

\beta

La parabole admet un minimum égal à

\beta

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas et son sommet correspond à un maximum d’ordonnée $\beta$ . Le minimum correspond au cas $a>0$ , tandis que $y=\beta$ décrit une droite horizontale et non l’axe de symétrie.

Answer

La parabole admet un maximum égal à $$\beta$$

Question 7

7. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=3(x-5)^2-2$ ?

x=5

x=-5

y=-2

y=5

Explication

Dans la forme canonique, l’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$ ; ici, $\alpha=5$ . La valeur $\beta=-2$ donne l’ordonnée du sommet et ne détermine pas l’axe.

Answer

Un produit nul possède au moins un facteur nul

Answer

$$\{-\sqrt3;\sqrt3\}$$

Answer

$$f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)$$

Answer

$$f(x)=a(x-1)^2$$

Question 8

8. Quelle propriété permet de résoudre une équation de la forme $(x-2)(x+5)=0$ ?

Un produit nul impose que les deux facteurs soient égaux

Un produit nul signifie que les facteurs ont des signes opposés

Un produit nul possède au moins un facteur nul

Un produit nul possède deux facteurs strictement positifs

Explication

Un produit est nul dès qu’au moins l’un de ses facteurs est nul, ce qui conduit ici à étudier séparément $x-2=0$ et $x+5=0$ . Il n’est pas nécessaire que les deux facteurs soient nuls ni qu’ils aient des signes opposés.

Question 9

9. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation $x^2-3=0$ ?

\{-\sqrt3\}

\{-\sqrt3;\sqrt3\}

\{\sqrt3\}

\{-3;3\}

Explication

L’équation devient $x^2=3$ , donc ses deux solutions opposées sont $x=\sqrt3$ et $x=-\sqrt3$ . L’équation linéaire $x+3=0$ , en revanche, ne possède qu’une solution.

Question 10

10. Quelle forme factorisée convient à une fonction polynôme du second degré ayant pour racines $x_0$ et $x_1$ ?

f(x)=a(x-x_0)^2(x-x_1)^2

f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)

f(x)=a(x+x_0)(x+x_1)

f(x)=a(x_0-x)(x_1+x)

Explication

Une fonction du second degré ayant les racines $x_0$ et $x_1$ s’écrit $a(x-x_0)(x-x_1)$ , avec un coefficient $a$ non nul. Cette écriture fait apparaître les racines, contrairement à la forme canonique qui met en évidence le sommet.

Question 11

11. Une fonction polynôme du second degré possède une racine double égale à $1$ . Quelle expression peut-elle prendre ?

f(x)=a(x+1)^2

f(x)=a(x-1)(x-2)

f(x)=a(x-1)^2

f(x)=a(x-1)(x+1)

Explication

Une racine double égale à $1$ apparaît deux fois dans la forme factorisée, d’où le facteur $\left(x-1\right)^2$ . Deux facteurs distincts, comme $\left(x-1\right)\left(x-2\right)$ , correspondraient à deux racines différentes.

QCM : Fonctions du second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est le degré du polynôme obtenu en réduisant l’expression $(x-1)^2-x^2$ ?

2. Quelle expression représente la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

3. Pour $f(x)=6x^2-12x+5$ , quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole ?

4. Quelle opération correspond au développement d’une expression algébrique ?

5. Quel est le développement de $(3x-2)^2$ ?

6. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que peut-on affirmer lorsque $a<0$ ?

7. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=3(x-5)^2-2$ ?

8. Quelle propriété permet de résoudre une équation de la forme $(x-2)(x+5)=0$ ?

9. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation $x^2-3=0$ ?

10. Quelle forme factorisée convient à une fonction polynôme du second degré ayant pour racines $x_0$ et $x_1$ ?

11. Une fonction polynôme du second degré possède une racine double égale à $1$ . Quelle expression peut-elle prendre ?

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QCM : Fonctions du second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est le degré du polynôme obtenu en réduisant l’expression (x−1)2−x2(x-1)^2-x^2(x−1)2−x2 ?

2. Quelle expression représente la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ?

3. Pour f(x)=6x2−12x+5f(x)=6x^2-12x+5f(x)=6x2−12x+5, quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole ?

4. Quelle opération correspond au développement d’une expression algébrique ?

5. Quel est le développement de (3x−2)2(3x-2)^2(3x−2)2 ?

6. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, que peut-on affirmer lorsque a<0a<0a<0 ?

7. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole associée à f(x)=3(x−5)2−2f(x)=3(x-5)^2-2f(x)=3(x−5)2−2 ?

8. Quelle propriété permet de résoudre une équation de la forme (x−2)(x+5)=0(x-2)(x+5)=0(x−2)(x+5)=0 ?

9. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation x2−3=0x^2-3=0x2−3=0 ?

10. Quelle forme factorisée convient à une fonction polynôme du second degré ayant pour racines x0x_0x0​ et x1x_1x1​ ?

11. Une fonction polynôme du second degré possède une racine double égale à 111. Quelle expression peut-elle prendre ?

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1. Quel est le degré du polynôme obtenu en réduisant l’expression $(x-1)^2-x^2$ ?

3. Pour $f(x)=6x^2-12x+5$ , quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole ?

5. Quel est le développement de $(3x-2)^2$ ?

6. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que peut-on affirmer lorsque $a<0$ ?

7. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=3(x-5)^2-2$ ?

8. Quelle propriété permet de résoudre une équation de la forme $(x-2)(x+5)=0$ ?

9. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation $x^2-3=0$ ?

10. Quelle forme factorisée convient à une fonction polynôme du second degré ayant pour racines $x_0$ et $x_1$ ?

11. Une fonction polynôme du second degré possède une racine double égale à $1$ . Quelle expression peut-elle prendre ?