Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Forme canonique et sommet
3. Développer et factoriser
4. Parabole et symétrie
5. Résolution d’équations
6. Détermination d’une expression

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ telle que $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels et où $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 L’expression $2x+1$ est un polynôme du premier degré, tandis que $6x^3+3x^2+4x+2$ est un polynôme du troisième degré et que $(x-1)^2-x^2$ se réduit à un polynôme du premier degré.

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où α et β sont des nombres réels.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, on a $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}$.

Compléments

• L’expression $f(x)=4(x-2)^2+\frac{35}{3}$ est écrite sous forme canonique.

💡 Astuce mémo

Le signe de a entraîne un minimum ou un maximum

📖 3. Développer et factoriser

★ À maîtriser

• Pour développer une expression, on distribue les facteurs puis on regroupe les termes de même degré.

Compléments

• Le développement de $(3x-2)^2$ donne $9x^2-12x+4$.

📖 4. Parabole et symétrie

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la parabole admet un minimum égal à β au sommet de coordonnées $(\alpha;\beta)$ ; si $a<0$, elle admet un maximum égal à β.

• L’axe de symétrie de la parabole représentant une fonction sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est la droite d’équation $x=\alpha$.

Compléments

• La fonction $f(x)=x^2-4x+5$ peut s’écrire $f(x)=(x-2)^2+1$, donc sa parabole a pour sommet le point $(2;1)$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum ; a < 0 : maximum

📖 5. Résolution d’équations

★ À maîtriser

📌 Un produit de facteurs est nul si au moins l’un des facteurs est nul.

• Pour résoudre $x^2-3=0$, on écrit $x^2=3$ puis $x=\sqrt3$ ou $x=-\sqrt3$, donc l’ensemble des solutions est $\{-\sqrt3;\sqrt3\}$.

Compléments

• L’équation $x+3=0$ a pour solution $x=-3$, donc son ensemble de solutions est $\{-3\}$.

💡 Astuce mémo

Mettre sous forme factorisée → annuler chaque facteur

📖 6. Détermination d’une expression

★ À maîtriser

📐 Formule — Une fonction polynôme du second degré ayant deux racines x₀ et x₁ peut s’écrire sous forme factorisée $f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)$.

Compléments

• Si une fonction polynôme du second degré vérifie $f(1)=0$ et possède une racine double 1, elle peut s’écrire $f(x)=a(x-1)^2$.

• La fonction $f(x)=2x^2-16x+1$ peut s’écrire $f(x)=\frac32(x-4)^2-23$ après détermination de sa forme canonique.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un polynôme du second degré