QCM : Fonctions du second degré — 13 questions

Question 1

1. Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ , quelles relations vérifient-elles ?

x_1+x_2=-\frac{a}{b}

et

x_1x_2=\frac{a}{c}

x_1+x_2=\frac{c}{a}

et

x_1x_2=-\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

Explication

Les relations entre les racines sont $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$ . La confusion fréquente consiste à intervertir la formule de la somme et celle du produit.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 2

2. Pour le polynôme $P(x)=2(x-4)(x+1)$ , quelles sont les racines ?

-4

et

1

4

et

-1

2

et

-1

4

et

1

Explication

Les racines sont les valeurs qui annulent l’un des facteurs : $x-4=0$ donne $x=4$ et $x+1=0$ donne $x=-1$ . Le coefficient $2$ ne modifie pas les solutions puisque les racines proviennent des facteurs linéaires.

Answer

$$4$$ et $$-1$$

Question 3

3. Quelle courbe représente une fonction quadratique dans un repère orthogonal ?

Une parabole.

Un cercle.

Une hyperbole.

Une droite.

Explication

La courbe représentative d’une fonction quadratique est une parabole. Une droite représente notamment une fonction affine, ce qui correspond à un autre type de fonction.

Answer

Une parabole.

Question 4

4. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sous forme développée réduite et ordonnée ?

x\mapsto 4x-1

x\mapsto 2x^3+x^2-1

x\mapsto 7

x\mapsto 3x^2-2x+5

Explication

Une fonction du second degré s’écrit $x\mapsto ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , ce qui est le cas de $3x^2-2x+5$ . L’expression $4x-1$ est affine, car son coefficient de $x^2$ est nul.

Answer

$$x\mapsto 3x^2-2x+5$$

Question 5

5. Quelle expression représente la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $2$ et $-3$ ?

x\mapsto 5(x^2-6x+1)

x\mapsto 5(x-2)(x+3)

x\mapsto 5(x+2)(x-3)

x\mapsto 5(x-2)+(x+3)

Explication

La forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; avec les racines $2$ et $-3$ , elle devient $5(x-2)(x+3)$ . L’expression $5(x+2)(x-3)$ correspondrait aux racines $-2$ et $3$ .

Answer

$$x\mapsto 5(x-2)(x+3)$$

Question 6

6. Laquelle des expressions est une forme canonique d’un polynôme du second degré ?

x\mapsto 2(x-3)(x+1)

x\mapsto 2x^2-12x+13

x\mapsto 2(x-3)^2+5x

x\mapsto 2(x-3)^2-5

Explication

La forme canonique est $x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\ne0$ ; $2(x-3)^2-5$ respecte cette structure. La forme $2(x-3)(x+1)$ est factorisée et fait apparaître les racines.

Answer

$$x\mapsto 2(x-3)^2-5$$

Question 7

7. Soit $P(x)=-3(x-1)(x-5)$ . Sur quel intervalle le polynôme est-il positif ?

Sur

]-\infty;1[

et

]5;+\infty[

Sur

]5;+\infty[

Sur

]1;5[

Sur

]-\infty;1[

Explication

Entre les deux racines, le produit des deux facteurs est négatif ; le coefficient $-3$ inverse alors le signe, donc $P(x)>0$ sur $]1;5[$ . À l’extérieur de cet intervalle, le polynôme a le signe de $-3$ et est donc négatif.

Answer

Sur $$]1;5[$$

Question 8

8. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , comment détermine-t-on les paramètres de sa forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

On calcule

\alpha=-\frac{c}{2a}

puis

\beta=f(b)

.

On calcule

\alpha=-\frac{b}{2a}

puis

\beta=f(\alpha)

.

On calcule

\alpha=\frac{b}{2a}

puis

\beta=f(-\alpha)

.

On calcule

\alpha=-\frac{b}{2c}

puis

\beta=f(a)

.

Explication

La forme canonique utilise $\alpha=-\frac{b}{2a}$ , puis l’ordonnée correspondante se détermine en évaluant la fonction en cette abscisse, soit $\beta=f(\alpha)$ . Le coefficient $c$ n’intervient pas au dénominateur de la formule de $\alpha$ .

Answer

On calcule $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ puis $$\beta=f(\alpha)$$.

Question 9

9. Pour une fonction écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle est l’équation de l’axe de symétrie de sa parabole ?

y=\alpha

y=\beta

x=\alpha

x=\beta

Explication

Dans la forme canonique, l’abscisse $\alpha$ du sommet détermine l’axe vertical de symétrie, d’équation $x=\alpha$ . L’équation $y=\beta$ décrit une droite horizontale passant par l’ordonnée du sommet, pas l’axe de la parabole.

Answer

$$x=\alpha$$

Question 10

10. Pour $f(x)=-2x^2+12x+32$ , quelle est sa forme factorisée ?

2(x-8)(x+2)

-2(x-3)^2+50

-2(x-8)(x+2)

-2(x+8)(x-2)

Explication

La factorisation de cette fonction est $-2(x-8)(x+2)$ , dont les racines sont $8$ et $-2$ . L’expression $-2(x-3)^2+50$ est sa forme canonique et met plutôt en évidence l’extremum.

Answer

$$-2(x-8)(x+2)$$

Question 11

11. Pour la fonction $f(x)=-2(x+4)^2+7$ , où son maximum est-il atteint et quelle est sa valeur ?

Il est atteint pour

x=7

et vaut

-4

.

Il est atteint pour

x=4

et vaut

-7

.

Il est atteint pour

x=-4

et vaut

7

.

Il est atteint pour

x=-2

et vaut

4

.

Explication

Dans $a(x-\alpha)^2+\beta$ , l’extremum vaut $\beta$ et est atteint pour $x=\alpha$ ; ici $\alpha=-4$ et $\beta=7$ . Comme le coefficient directeur du carré est négatif, cet extremum est bien un maximum.

Answer

Il est atteint pour $$x=-4$$ et vaut $$7$$.

Question 12

12. Quelle démarche permet de factoriser une fonction quadratique donnée sous forme développée ?

Trouver l’extremum, puis remplacer chaque terme de la forme développée par une racine.

Tracer la parabole, lire son sommet, puis écrire automatiquement une forme factorisée.

Reconnaître une identité remarquable, obtenir la forme canonique, puis factoriser si possible.

Calculer directement l’axe de symétrie, puis développer la forme canonique obtenue.

Explication

La méthode consiste d’abord à reconnaître une identité remarquable afin d’obtenir la forme canonique, puis à appliquer la troisième identité remarquable lorsque la factorisation est possible. La forme canonique peut être obtenue même si aucune forme factorisée réelle n’est disponible.

Answer

Reconnaître une identité remarquable, obtenir la forme canonique, puis factoriser si possible.

Question 13

13. Pour une fonction quadratique dont le coefficient directeur vérifie $a>0$ , comment évolue la fonction par rapport à l’abscisse $\alpha$ du sommet ?

Elle croît jusqu’à

\alpha

puis décroît.

Elle décroît avant

\alpha

et reste constante ensuite.

Elle croît avant

\alpha

puis reste constante ensuite.

Elle décroît jusqu’à

\alpha

puis croît.

Explication

Lorsque $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut : la fonction atteint un minimum en $\alpha$ , après avoir décroît puis croît. Le comportement croissant puis décroissant correspond au cas $a<0$ .

Answer

Elle décroît jusqu’à $$\alpha$$ puis croît.

QCM : Fonctions du second degré — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ , quelles relations vérifient-elles ?

2. Pour le polynôme $P(x)=2(x-4)(x+1)$ , quelles sont les racines ?

3. Quelle courbe représente une fonction quadratique dans un repère orthogonal ?

4. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sous forme développée réduite et ordonnée ?

5. Quelle expression représente la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $2$ et $-3$ ?

6. Laquelle des expressions est une forme canonique d’un polynôme du second degré ?

7. Soit $P(x)=-3(x-1)(x-5)$ . Sur quel intervalle le polynôme est-il positif ?

8. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , comment détermine-t-on les paramètres de sa forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

9. Pour une fonction écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle est l’équation de l’axe de symétrie de sa parabole ?

10. Pour $f(x)=-2x^2+12x+32$ , quelle est sa forme factorisée ?

11. Pour la fonction $f(x)=-2(x+4)^2+7$ , où son maximum est-il atteint et quelle est sa valeur ?

12. Quelle démarche permet de factoriser une fonction quadratique donnée sous forme développée ?

13. Pour une fonction quadratique dont le coefficient directeur vérifie $a>0$ , comment évolue la fonction par rapport à l’abscisse $\alpha$ du sommet ?

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QCM : Fonctions du second degré — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si x1x_1x1​ et x2x_2x2​ sont les racines de ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c, quelles relations vérifient-elles ?

2. Pour le polynôme P(x)=2(x−4)(x+1)P(x)=2(x-4)(x+1)P(x)=2(x−4)(x+1), quelles sont les racines ?

3. Quelle courbe représente une fonction quadratique dans un repère orthogonal ?

4. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sous forme développée réduite et ordonnée ?

5. Quelle expression représente la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont 222 et −3-3−3 ?

6. Laquelle des expressions est une forme canonique d’un polynôme du second degré ?

7. Soit P(x)=−3(x−1)(x−5)P(x)=-3(x-1)(x-5)P(x)=−3(x−1)(x−5). Sur quel intervalle le polynôme est-il positif ?

8. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, comment détermine-t-on les paramètres de sa forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\betaa(x−α)2+β ?

9. Pour une fonction écrite sous la forme f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, quelle est l’équation de l’axe de symétrie de sa parabole ?

10. Pour f(x)=−2x2+12x+32f(x)=-2x^2+12x+32f(x)=−2x2+12x+32, quelle est sa forme factorisée ?

11. Pour la fonction f(x)=−2(x+4)2+7f(x)=-2(x+4)^2+7f(x)=−2(x+4)2+7, où son maximum est-il atteint et quelle est sa valeur ?

12. Quelle démarche permet de factoriser une fonction quadratique donnée sous forme développée ?

13. Pour une fonction quadratique dont le coefficient directeur vérifie a>0a>0a>0, comment évolue la fonction par rapport à l’abscisse α\alphaα du sommet ?

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1. Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ , quelles relations vérifient-elles ?

2. Pour le polynôme $P(x)=2(x-4)(x+1)$ , quelles sont les racines ?

5. Quelle expression représente la forme factorisée d’un polynôme du second degré dont les racines sont $2$ et $-3$ ?

7. Soit $P(x)=-3(x-1)(x-5)$ . Sur quel intervalle le polynôme est-il positif ?

8. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , comment détermine-t-on les paramètres de sa forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

9. Pour une fonction écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle est l’équation de l’axe de symétrie de sa parabole ?

10. Pour $f(x)=-2x^2+12x+32$ , quelle est sa forme factorisée ?

11. Pour la fonction $f(x)=-2(x+4)^2+7$ , où son maximum est-il atteint et quelle est sa valeur ?

13. Pour une fonction quadratique dont le coefficient directeur vérifie $a>0$ , comment évolue la fonction par rapport à l’abscisse $\alpha$ du sommet ?