Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Formes développée et factorisée
2. Signes et racines du polynôme
3. Forme canonique et extremum
4. Variations et représentation graphique
5. Méthode de factorisation
6. Méthodes alternatives et relations

📖 1. Formes développée et factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : s’écrit sous la forme développée réduite ordonnée $x \mapsto ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels et $a\ne0$
• Forme factorisée : $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée $ax^2+bx+c$, a, b et c sont respectivement les coefficients de degré 2, 1 et 0, et a est le coefficient dominant.

📐 Formule — Le passage de la forme factorisée à la forme développée donne $b=-a(x_1+x_2)$ et $c=ax_1x_2$.

💡 Astuce mémo

Développée : coefficients visibles ; factorisée : racines visibles.

📖 2. Signes et racines du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines du polynôme : x₁ et x₂, c’est-à-dire ses antécédents de zéro et les solutions de l’équation $a(x-x_1)(x-x_2)=0$

★ À maîtriser

📌 Pour $x_1\le x_2$, le signe de $a(x-x_1)(x-x_2)$ est celui de a sur $]-\infty;x_1[$ et $]x_2;+\infty[$, nul en x₁ et x₂, et opposé à celui de a sur $]x_1;x_2[$.

Compléments

• Lorsque x₁ = x₂, l’intervalle $]x_1;x_2[$ est réduit à un point et ne contient aucun réel.

💡 Astuce mémo

Racine → zéro ; entre les racines, le signe change.

📖 3. Forme canonique et extremum

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : $x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\ne0$

★ À maîtriser

• Dans la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$, l’extremum vaut β et est atteint pour x = α.

Compléments

📐 Formule — Le développement de la forme canonique donne $b=-2a\alpha$ et $c=a\alpha^2+\beta$.

💡 Astuce mémo

Une parabole en forme de U ou de ∩, centrée sur x = α.

📖 4. Variations et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La courbe représentative d’une fonction quadratique dans un repère orthogonal

📝 Points essentiels

📌 Si a > 0, la fonction décroît jusqu’à α puis croît ; si a < 0, elle croît jusqu’à α puis décroît.

📌 Pour $x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta$, la droite d’équation $x=\alpha$ est l’axe de symétrie de la parabole.

💡 Astuce mémo

Le signe de a → le sens des variations et l’ouverture de la parabole.

📖 5. Méthode de factorisation

★ À maîtriser

• La factorisation depuis la forme développée s’effectue en reconnaissant d’abord une identité remarquable pour obtenir la forme canonique, puis en factorisant cette forme avec la troisième identité remarquable si c’est possible.

Compléments

• Pour $f(x)=-2x^2+12x+32$, la forme canonique est $f(x)=-2(x-3)^2+50$ et la forme factorisée est $f(x)=-2(x-8)(x+2)$.

💡 Astuce mémo

Développée → canonique → factorisée.

📖 6. Méthodes alternatives et relations

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, la forme canonique utilise $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📐 Formule — Si x₁ et x₂ sont les racines de $ax^2+bx+c$, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac ba$ et $x_1x_2=\frac ca$.

Compléments

• Pour rechercher une racine évidente, on teste successivement des nombres simples comme 1, −1, 2 et −2, puis on utilise la relation produit des racines pour déterminer l’autre racine.

• Pour $f(x)=-7x^2-4x+3$, −1 est une racine et la seconde racine vaut $\frac37$, donc $f(x)=-7(x+1)(x-\frac37)$.

💡 Astuce mémo

IR–CR–RE : identités remarquables, coefficients-racines, racine évidente.

📊 Tableaux de synthèse

Les trois formes d’un polynôme