Fiche de révision : Fonctions du second degré et racines

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation d’une fonction du second degré
2. Forme canonique et variations
3. Équation du second degré et discriminant
4. Factorisation et signe du polynôme
5. Racines et relations de Viète

📖 1. Définition et représentation d’une fonction du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction du second degré est une fonction définie sur ℝ de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.
• Parabole : La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole.
• Paramètre a : Le coefficient $a$ détermine le sens d’ouverture de la parabole quand $a>0$ ou $a<0$.

📝 Points essentiels

• Dans $f(x)=ax^2+bx+c$ définie sur ℝ, $x$ appartient à ℝ et la puissance maximale de $x$ est 2.
• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut, et si $a<0$, elle est tournée vers le bas.

💡 Astuce mémo

$a$ signe l’orientation : $+$ vers le haut, $-$ vers le bas.

📖 2. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : La forme développée est l’écriture $f(x)=ax^2+bx+c$, celle de la définition.
• Forme canonique : La forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ liés à $a,b,c$.
• Sommet : Le sommet est le point de la parabole de coordonnées $A(\alpha; f(\alpha))$.

📝 Points essentiels

• En forme canonique, $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$, ce qui justifie les variations et la position du sommet.
• Si $a>0$, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
• Si $a<0$, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Canonique = “carré centré” : le centre $x=\alpha$ commande décroissance/croissance.

📖 3. Équation du second degré et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’une équation $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.
• Racines : Les racines sont les valeurs de $x$ qui rendent $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, l’équation admet deux solutions $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, l’équation admet une unique solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, l’équation n’admet pas de solution dans ℝ.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ : plus il est grand que 0, plus il y a de solutions réelles (0, 1 ou 2).

📖 4. Factorisation et signe du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation dans ℝ : La factorisation dans ℝ exprime $f(x)$ comme un produit de polynômes du premier degré lorsque c’est possible.
• Racines de $f$ : Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent $f(x)$, et elles apparaissent dans la factorisation.
• Tableau de signes : Un tableau de signes indique le signe de $f(x)$ selon les intervalles définis par ses racines.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ et le polynôme ne s’annule qu’en $x_0$ avec un signe lié à $a$ sur les autres intervalles.
• Si $\Delta<0$, $f(x)$ ne se factorise pas dans ℝ en produit de deux facteurs du premier degré.

💡 Astuce mémo

Produit $(x-x_1)(x-x_2)$ : le signe change uniquement en passant par les racines.

📖 5. Racines et relations de Viète

🔑 Notions clés & Définitions

• Relations de Viète : Pour $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, la somme et le produit des racines se relient aux coefficients $a,b,c$.
• Somme des racines : La somme des racines vaut $x_1+x_2$ quand $f(x)$ admet deux racines réelles (ou complexes) dans la factorisation donnée.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, alors $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ par identification des coefficients.
• Quand $f(x)=ax^2+bx+c$ et que $\Delta>0$, les deux racines réelles $x_1,x_2$ vérifient ces relations de Viète.
• Pour $f(x)=2x^2+7x-3$, on obtient $x_1+x_2=-\dfrac{7}{2}=-3{,}5$ et $x_1x_2=-\dfrac{3}{2}=-1{,}5$.

💡 Astuce mémo

Viète : somme = “-b sur a”, produit = “c sur a”.

📊 Tableaux de synthèse

Effet du discriminant sur les solutions

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le rôle de $a$ : $a$ n’est pas une racine mais l’élément qui fixe le sens d’ouverture et apparaît dans $2a$ au dénominateur du discriminant.
2. Oublier le signe de $\alpha$ : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, donc changer $b$ ou $a$ inverse peut déplacer le sommet.
3. Prendre $\Delta$ comme une valeur des racines : c’est un calcul $b^2-4ac$, puis on utilise $\sqrt{\Delta}$ pour les solutions.
4. Croire que $\Delta<0$ donne des racines réelles : dans ce cas, il n’y a pas de solutions dans ℝ.
5. Écrire la factorisation quand $\Delta<0$ comme $(x-x_1)(x-x_2)$ dans ℝ : ce produit n’est pas une factorisation avec deux facteurs du premier degré réels.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire une fonction du second degré sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.
2. Déterminer le sens de la parabole à partir du signe de $a$.
3. Passer de $f(x)=ax^2+bx+c$ à $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ en utilisant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
4. Déduire les variations de $f$ à partir de $a$ et du point $x=\alpha$ (décroissante puis croissante, ou l’inverse).
5. Donner le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ pour résoudre $ax^2+bx+c=0$.
6. Résoudre l’équation pour $\Delta>0$ en donnant $x_1$ et $x_2$ avec $\sqrt{\Delta}$.
7. Résoudre l’équation pour $\Delta=0$ en donnant la solution unique $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
8. Conclure qu’il n’y a pas de solution dans ℝ quand $\Delta<0$.
9. Factoriser $f(x)$ dans ℝ quand $\Delta\ge0$ en utilisant les racines.
10. Construire un tableau de signes à partir des racines et du signe de $a$.
11. Utiliser les relations de Viète : $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
12. Appliquer Viète sur un exemple de la forme $ax^2+bx+c$ pour obtenir la somme et le produit des racines.