Fiche de révision : Fonctions et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonctions polynômes du second degré
2. Formes d’une fonction polynôme
3. Forme canonique et sommet
4. Variations et extrémum
5. Équations et discriminant
6. Applications numériques

📖 1. Fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ qui s’écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a, b et c réels et a ≠ 0.
• Parabole : Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré.
• Sommet de la parabole : Point le plus haut lorsque a < 0 ou le plus bas lorsque a > 0.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole tournée vers le haut ; a < 0 : parabole tournée vers le bas

📖 2. Formes d’une fonction polynôme

★ À maîtriser

📐 Formule — Une fonction polynôme du second degré possède une forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, une forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ et, lorsque ses racines existent, une forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• La fonction carrée est une fonction polynôme du second degré avec a = 1, b = 0 et c = 0.

💡 Astuce mémo

Développée → canonique → factorisée

📖 3. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, la forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$, $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$ et $\Delta=b^2-4ac$.

• Le sommet de la parabole a pour coordonnées S(α, β) et son axe de symétrie est la droite d’équation x = α.

Compléments

• La fonction f(x) = -2(x + 1)² + 8 a pour sommet S(-1 ; 8) et pour axe de symétrie la droite d’équation x = -1.

📌 Lorsque les deux racines sont égales, la forme factorisée est f(x) = a(x - x1)² et elle coïncide avec la forme canonique.

💡 Astuce mémo

Le sommet S(α, β) repose sur l’axe vertical x = α

📖 4. Variations et extrémum

★ À maîtriser

📌 Si a < 0, f est croissante sur ]-∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum en α.

📌 Si a > 0, f est décroissante sur ]-∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum en α.

Compléments

📌 Lorsque a < 0, la parabole est orientée vers le bas ; lorsque a > 0, elle est orientée vers le haut.

💡 Astuce mémo

a < 0 donne un maximum ; a > 0 donne un minimum

📖 5. Équations et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation qui peut s’écrire $ax^2+bx+c=0$ avec a ≠ 0.
• Racines du trinôme : Solutions réelles, lorsqu’elles existent, de l’équation ax² + bx + c = 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ < 0, l’équation n’a aucune solution réelle ; si Δ = 0, elle a une solution réelle x0 = -b/(2a) ; si Δ > 0, elle a deux solutions réelles distinctes x1 = (-b - √Δ)/(2a) et x2 = (-b + √Δ)/(2a).

Compléments

• Lorsque Δ = 0, la racine -b/(2a) est appelée racine double du trinôme.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : une racine double ; Δ > 0 : deux racines

📖 6. Applications numériques

📝 Points essentiels

• Pour 2x² + x - 3 = 0, le discriminant vaut Δ = 25 et les deux solutions sont x1 = -3/2 et x2 = 1.

• Pour x² + x + 1 = 0, le discriminant vaut Δ = -3 et l’équation n’a pas de racine réelle.

• Pour 9x² - 30x + 25 = 0, l’unique racine réelle est la racine double x0 = 5/3.

• La forme développée -2(x + 1)² + 8 se factorise en -2(x - 1)(x + 3), dont les racines sont 1 et -3.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et solutions